Pourquoi le filtre de Kalman fonctionne si bien : une juste estimation issue de deux sources imparfaites

En 1968, trois astronautes ont volé vers la Lune guidés par un ordinateur ne disposant que de quelques kilo-octets de mémoire vive. Pendant tout le voyage, cet ordinateur devait savoir avec précision où se trouvait le vaisseau, et il disposait pour cela de deux moyens : la physique et la mesure. La physique était simple ; si vous savez où vous étiez et à quelle vitesse vous avanciez, vous pouvez calculer où vous devriez vous trouver maintenant. Mais la moindre erreur se propage dans le calcul suivant, les erreurs s'accumulent et l'estimation dérive lentement loin de la position réelle. Selon le récit de navigation d'Apollo publié par la NASA, ce sont les corrections apportées par les visées stellaires qui ont permis de contenir cette dérive.

Le second moyen était la mesure elle-même : les astronautes visaient les étoiles au sextant et utilisaient ces observations pour corriger l'estimation. Ces relevés ne souffraient d'aucune dérive cumulative et restaient ancrés dans le réel ; mais chaque visée comportait son propre bruit, si bien que les lectures variaient de l'une à l'autre. Le logiciel de navigation combinait les deux sources, et le résultat surpassait chacune d'elles prise isolément. La même idée fonctionne aujourd'hui dans le téléphone de votre poche : un modèle de mouvement est fusionné avec les mesures GPS pour que le point bleu sur la carte cesse de bondir dès que le signal devient bruité. Cette méthode s'appelle le filtre de Kalman.

D'abord, nommer avec précision ce qui est réellement estimé : l'état

Pour comprendre pourquoi la combinaison de deux sources imparfaites de façon différente donne un résultat plus fiable, il faut d'abord nommer ce qui est véritablement estimé : l' état , c'est-à-dire l'ensemble des nombres qui décrivent le système à l'instant présent. Pour une voiture sur une route, l'état peut se réduire à sa position ; dans un cas plus réaliste, il peut aussi inclure la vitesse et l'accélération. La difficulté, c'est que cet état ne peut jamais être observé parfaitement ; il n'existe toujours que les deux mêmes sources imparfaites, l'une issue d'un modèle décrivant le mouvement du système et l'autre d'un capteur qui le mesure.

Chaque source échoue à sa manière. Le modèle fournit une prédiction lisse, mais chaque erreur de prédiction se reporte sur la suite ; plus on s'y fie longtemps, plus il peut dériver, sans que le réel ne vienne jamais le ramener. Le capteur reste lié au monde réel, mais chaque lecture est bruitée, si bien que l'estimation saute à chaque mesure. Ne faire confiance qu'au capteur produit une estimation saccadée, ne faire confiance qu'au modèle produit une estimation qui dérive. Simplement moyenner les deux à parts égales, moitié-moitié, n'a de sens que si les deux sources sont également fiables ; en pratique, ce n'est presque jamais le cas.

La courbe en cloche et la surprise de six mètres

La solution consiste à pondérer chaque source selon la confiance qu'elle mérite à l'instant présent. Pour construire cette pondération, le filtre suit non seulement sa meilleure estimation, mais aussi l'incertitude qui l'entoure : la conviction n'est pas représentée par un nombre unique mais par une courbe en cloche , dont le centre est la meilleure hypothèse et dont l'étalement, appelé variance, exprime le doute. L'expérience de pensée est la suivante : à partir de la position précédente, de la vitesse et du temps écoulé, le modèle prédit que la voiture se trouve à 100 mètres avec une variance de 4, si bien que l'estimation se situe généralement à environ 2 mètres de la vérité. Au même moment, le GPS annonce 106 mètres mais avec une variance de 12, donc ses lectures s'écartent typiquement de trois ou quatre mètres. Les deux estimations diffèrent de 6 mètres ; l'écart entre la prédiction et la mesure s'appelle l' innovation , ou plus simplement la surprise.

Quelle part de cette surprise de 6 mètres faut-il croire ? Le filtre de Kalman répond par un nombre appelé le gain de Kalman : le gain vaut la variance de prédiction divisée par la variance totale des deux sources, soit 4 divisé par 4 plus 12, ce qui donne 1/4. Le filtre se déplace d'un quart du chemin de la prédiction vers la mesure ; un quart de 6 mètres représente 1,5 mètre, si bien qu'au lieu de sauter de 100 à 106, la nouvelle estimation s'établit à 101,5 mètres. Elle reste proche de la prédiction parce que, cette fois, la prédiction était la source fiable. Selon la synthèse des équations publiée sur kalmanfilter.net, cet enchaînement prédiction puis correction forme les cinq équations centrales du filtre. Le plus remarquable concerne l'incertitude : après la correction, la nouvelle variance vaut 3, valeur inférieure aux 4 de la prédiction et très inférieure aux 12 du GPS. Ainsi, combiner une assez bonne source avec une moins bonne a produit une estimation meilleure que la bonne source seule. La raison, c'est que le gain est choisi pour minimiser la variance restante : si les erreurs de prédiction et du capteur sont indépendantes, la variance combinée s'écrit directement, augmenter le gain réduit la part de la prédiction tout en accroissant celle du capteur, et quelque part entre les deux se trouve le point de variance totale minimale. Annuler la pente donne exactement l'expression utilisée plus haut. Le résultat prend aussi une forme élégante : 1 divisé par la nouvelle variance égale 1 divisé par la variance de prédiction plus 1 divisé par la variance du capteur ; 1 divisé par la variance s'appelle la précision, donc les précisions s'additionnent, 1/4 plus 1/12 égale 1/3.

La boucle prédiction-correction et l'équilibre qui émerge seul

Le gain se comporte exactement comme souhaité : avec un capteur parfait, sa variance est nulle, le gain vaut un et tout bascule vers la mesure ; avec un capteur extrêmement bruité, le gain tend vers zéro et la lecture est largement ignorée. Mais la voiture continue d'avancer après une mesure, donc le filtre répète ce processus tandis que sa propre incertitude évolue. Dans l'étape de prédiction , le modèle propage l'estimation vers l'avant ; une voiture roulant à 20 m/s est prédite 20 mètres plus loin une seconde plus tard, tandis que l'incertitude grandit parce que le modèle n'est jamais parfait, ajoutant à chaque étape une variance supplémentaire appelée bruit de processus, soit une unité par seconde dans cet exemple. Puis une mesure arrive et l'étape de correction calcule le gain, déplace l'estimation en partie de la prédiction vers la mesure, et resserre de nouveau la variance ; la courbe en cloche s'élargit à la prédiction puis se resserre à la correction. Pour voir comment cela se stabilise dans le temps, le filtre démarre avec une première hypothèse très mauvaise, de variance 100, admettant ainsi qu'il ne sait presque rien. À la première correction, le gain vaut environ 9/10, donc le filtre s'appuie sur le GPS, à juste titre tant que le modèle reste très incertain, et la variance tombe autour de 11. À l'étape suivante, le gain chute vers 1/2, puis un peu au-dessus de 1/3, pour se stabiliser près de 1/4 après une dizaine d'étapes ; la variance oscille alors entre 4 après la prédiction et 3 après la correction, exactement les nombres de l'exemple précédent, qui n'étaient donc pas une pondération choisie à la main mais le filtre à son régime stable. Le point essentiel : personne n'a dit au filtre de faire confiance au GPS à hauteur d'un quart ; cette pondération a émergé d'elle-même des bruits du processus et du capteur.

La matrice de covariance : estimer ce qui n'est jamais mesuré directement

Jusqu'ici, un seul nombre était estimé ; les systèmes réels comportent plusieurs grandeurs qui évoluent ensemble, dont certaines que les capteurs ne mesurent jamais directement. Reprenons la même voiture mais estimons à la fois la position et la vitesse, alors que le GPS ne signale toujours que la position : l'état contient désormais deux nombres et l'incertitude exige davantage qu'une simple variance. On utilise à la place un petit tableau appelé la matrice de covariance ; les éléments diagonaux donnent l'incertitude sur la position et sur la vitesse prises isolément, tandis que les éléments hors diagonale indiquent comment leurs erreurs sont liées. Ce lien naît naturellement dans la prédiction : la position avance selon la vitesse, donc une vitesse estimée trop haute pousse la position prédite trop loin, les deux erreurs deviennent couplées, et le filtre suit ce couplage. Quand une nouvelle mesure GPS arrive, cette liaison porte ses fruits : si la voiture se révèle en arrière de la prédiction, le filtre recule non seulement la position mais abaisse aussi l'estimation de vitesse, sachant que les erreurs de position et de vitesse évoluent ensemble, alors que le GPS n'a jamais mesuré la vitesse. Les équations s'alourdissent avec les matrices ; la logique reste identique.

Les systèmes réels et les limites où le filtre échoue

Cette forme matricielle fonctionne dans des systèmes bien plus réalistes : la navigation d'Apollo suivait la position et la vitesse en trois dimensions alors que les visées stellaires ne révélaient que des fragments de cet état ; un téléphone fusionne des mesures GPS lentes avec des lectures d'accéléromètre et de gyroscope bien plus rapides. Selon une étude de navigation par smartphone publiée par MDPI, des filtres adaptés fusionnant des données de gyroscope et d'accéléromètre à des rythmes différents améliorent nettement la continuité de la position sur les téléphones Android. Une évaluation de l'université technique d'Athènes, archivée par NIH dans PMC, mesure rigoureusement les performances des capteurs GNSS et inertiels des téléphones. Les voitures électriques peuvent estimer la charge de la batterie, jamais mesurable directement, avec la même idée générale ; selon une étude de Kalman étendu à paramètres adaptatifs publiée par Nature, les filtres adaptatifs renforcent l'estimation de la charge des batteries lithium-ion.

Tout cela fonctionne tant que les hypothèses du filtre tiennent ; dès qu'elles commencent à se fissurer, le filtre de Kalman de base rencontre des difficultés. La première grande hypothèse est que le système est linéaire , c'est-à-dire que la prédiction et la mesure suivent des relations en ligne droite ; une courbe en cloche traversant un système linéaire reste une courbe en cloche, ce qui garde les calculs d'incertitude gérables. Les systèmes réels ne sont pas toujours aussi accommodants : un véhicule qui tourne ou un radar mesurant distance et angle font intervenir des relations courbes, et le filtre de base ne s'applique plus directement. Une correction courante est le filtre de Kalman étendu , qui approxime le système non linéaire par un système linéaire autour de l'estimation actuelle ; une autre est le filtre de Kalman sans parfum , qui propage des points soigneusement choisis à travers la non-linéarité pour estimer l'évolution de la distribution. Quand l'incertitude ne tient plus du tout dans une seule courbe en cloche, les filtres particulaires poussent l'idée plus loin et représentent la distribution comme un vaste nuage d'échantillons. Selon MathWorks et son exemple d'oscillateur de van der Pol, les filtres de Kalman sans parfum et les filtres particulaires maintiennent l'estimation en vie sur de tels systèmes courbes.

Le filtre peut échouer d'une autre manière : quand on lui donne de mauvais niveaux de bruit. Si on lui dit que le modèle est bien plus fiable qu'il ne l'est, la variance prédite ressort trop petite, le gain chute, et le filtre commence à ignorer des mesures qui auraient dû le corriger. L'estimation peut alors s'éloigner du réel tandis que le filtre devient de plus en plus certain d'avoir raison, et c'est pourquoi le choix de valeurs réalistes pour les bruits de processus et de capteur constitue une part si importante de la pratique. Sous les matrices et les variantes, le filtre de Kalman fait toujours la même chose : suivre ce qu'il croit, mesurer l'incertitude de cette conviction, évaluer la fiabilité de chaque nouvelle information, puis utiliser cette incertitude pour décider du poids accordé à chaque source. C'est ainsi que deux sources d'information imparfaites produisent une estimation plus fiable que chacune d'elles isolément.