Neden Kalman Filtreleri Bu Kadar İyi Çalışıyor: İki Yanlış Kaynaktan Tek Doğru Kestirim

1968'de üç astronot Ay'a, yalnızca birkaç kilobaytlık çalışma belleği olan bir bilgisayarla uçtu. Yol boyunca bilgisayar aracın tam olarak nerede olduğunu bilmek zorundaydı ve bunun için iki yolu vardı: fizik ve ölçüm. Fizik hesabı basitti; nerede olduğunuzu ve ne kadar hızlı gittiğinizi biliyorsanız şimdi nerede olmanız gerektiğini hesaplarsınız. Ama en küçük hata bir sonraki hesaba taşınır, hatalar birikir ve kestirim gerçek konumdan yavaşça uzaklaşır, yani sürüklenir. NASA'nın Apollo seyrüsefer anlatısına göre yıldızlara bakılarak yapılan düzeltmeler bu sürüklenmeyi dizginleyen şeydi.

İkinci yol ölçümün kendisiydi: astronotlar sekstantla yıldızlara bakıp kestirimi düzeltiyordu. Bu okumalar birikimli sürüklenmeye uğramıyordu, gerçeğe bağlı kalıyordu; ama her bakış kendi gürültüsünü taşıyordu, okumalar bir o yana bir bu yana zıplıyordu. Seyir yazılımı bu iki kaynağı birleştirdi ve sonuç her birinden tek başına daha isabetli çıktı. Aynı fikir bugün cebimizdeki telefonda çalışıyor: hareket modeli GPS ölçümleriyle harmanlanıyor, haritadaki mavi nokta sinyal gürültülendiğinde oradan oraya sıçramıyor. Bu yöntemin adı Kalman filtresidir.

Önce kestirilen şeyi adlandırmak: state

İki kaynağın da farklı biçimde yanlış olduğu halde birleşiminin neden daha güvenilir olduğunu görmek için önce kestirilmeye çalışılan şeyi adlandırmak gerekir: state , yani sistemi şu an anlatan sayılar kümesi. Yol boyunca giden bir araba için state yalnızca konum kadar basit olabilir; daha gerçekçi bir durumda hız ve ivme gibi büyüklükler de işin içine girer. Sorun şudur ki bu state hiçbir zaman kusursuz gözlenemez; elimizde hep aynı iki kusurlu kaynak vardır, biri sistemin nasıl hareket ettiğine dair modelden, öteki onu ölçen sensörden gelir.

İki kaynak da kendine özgü biçimde çöker. Model pürüzsüz bir öngörü verir, ama öngörüdeki her hata ileriye taşınır; modele ne kadar uzun güvenirsek o kadar uzağa sürüklenebilir ve gerçeklik onu asla geri çekmez. Sensör gerçek dünyaya bağlı kalır, ama her okuma gürültülüdür, kestirim her ölçümde titrer. Yalnızca sensöre güvenmek zıplayan bir kestirim, yalnızca modele güvenmek sürüklenen bir kestirim demektir. İkisini sabit 50/50 ortalamayla karıştırmak da yalnızca iki kaynak eşit güvenilirken anlamlıdır; pratikte bu neredeyse hiç doğru değildir.

Çan eğrisi ve 6 metrelik sürpriz

Çözüm, her kaynağın şu an ne kadar güveni hak ettiğini yansıtan bir ağırlıktır. Bunun için filtre yalnızca en iyi kestirimi değil, o kestirimin belirsizliğini de izler: inanç tek sayıyla değil, çan eğrisiyle temsil edilir; merkez en iyi tahmindir, varyans denen yayılım ise ne kadar emin olmadığımızı söyler. Düşünce deneyi şöyledir: model, önceki konum, hız ve geçen süreye göre arabanın 100 metrede olduğunu öngörür, varyans 4'tür, yani kestirim genellikle gerçek konumun 2 metre yakınındadır. Aynı anda GPS 106 metre okur ama daha özensizdir, varyans 12'dir, okumalar genelde üç dört metre sapar. İki kestirim 6 metre anlaşmaz; öngörülenle ölçülen arasındaki bu farka inovasyon , daha basitçe sürpriz denir.

Bu 6 metrelik sürprizin ne kadarına inanılmalı? Kalman filtresi bu soruyu Kalman kazancı denen sayıyla yanıtlar: kazanç, tahmin varyansının iki kaynağın toplam varyansına bölümüdür, yani 4 bölü 4 artı 12 eşittir 1 bölü 4. Filtre kestirimi öngörüden ölçüme doğru dörtte bir yol kateder; 6 metrenin dörtte biri 1,5 metredir, yeni kestirim 100'den 106'ya sıçramak yerine 101,5 metreye konar. Öngörüye yakın durur, çünkü bu sefer güvenilir olan oydu. kalmanfilter.net'teki denklem özetine göre bu tahmin-güncelle sırası filtrenin beş temel denklemini oluşturur. Asıl ilginçleşen yer belirsizliğin değişimidir: güncellemeden sonra yeni varyans 3 olur; bu, öngörünün 4'ünden küçük, GPS'in 12'sinden çok küçüktür. Yani oldukça iyi bir kaynakla daha kötü bir kaynağı birleştirip iyi kaynağın tek başına verebildiğinden daha iyi bir kestirim elde edilmiştir. Nedeni, kazancın varyansı en küçükleyen değer olarak seçilmesidir: öngörü hatasıyla sensör hatası bağımsızsa birleşik kestirimin varyansı doğrudan yazılır, kazanç artırıldıkça öngörü katkısı küçülür, sensör katkısı büyür, arada toplam varyansın en küçük olduğu bir nokta vardır. Eğimi sıfıra eşitlemek tam da kullanılan ifadeyi verir. Sonuç şu zarif biçime de yazılır: 1 bölü yeni varyans eşittir 1 bölü öngörü varyansı artı 1 bölü sensör varyansı; 1 bölü varyans kesinlik demektir, yani kesinlikler toplanır, 1 bölü 4 artı 1 bölü 12 eşittir 1 bölü 3.

Tahmin-güncelle döngüsü ve kendiliğinden doğan denge

Kazanç tam istenen gibi davranır: sensör mükemmelse varyansı sıfırdır, kazanç 1 olur, ölçüme kadar gidilir; sensör aşırı gürültülüyse kazanç sıfıra yaklaşır, ölçüm çoğunlukla yok sayılır. Ama araba tek ölçümden sonra durmaz, filtre bu işlemi belirsizliği zamanla değişirken tekrar tekrar uygular. Tahmin adımında model kestirimi ileri taşır; saniyede 20 metre giden araba 1 saniye sonra 20 metre ileride öngörülür, aynı anda model kusursuz olmadığı için belirsizlik büyütülür, her adımda process noise denen ek varyans eklenir, bu örnekte saniyede bir birim. Sonra ölçüm gelir, güncelleme adımı kazancı hesaplar, kestirimi öngörüden ölçüme kısmen taşır ve varyansı yeniden daraltır; çan eğrisi tahminde genişler, ölçümde geri çekilir. Bu döngünün zamanla nasıl oturduğunu görmek için filtreyi berbat bir ilk tahminle, varyans 100 ile, yani neredeyse hiçbir şey bilmediğini itiraf ederek başlatmak yeterlidir. İlk güncellemede kazanç yaklaşık 9 bölü 10 olur; filtre güvenini GPS'e verir, model hâlâ çok belirsizken tam da istenen budur, varyans 11 civarına düşer. Sonraki adımda kazanç kabaca 1 bölü 2'ye, ardından 1 bölü 3'ün biraz üstüne iner, yaklaşık 10 adım sonra 1 bölü 4'e oturur; varyans tahminden sonra 4, güncellemeden sonra 3 arasında gidip gelir, yani önceki örnekteki sayılar elle seçilmiş değildi, filtrenin oturmuş haliydi. Önemli nokta şudur: kimse filtreye GPS'e dörtte bir güvenmesini söylemedi; bu ağırlık process noise ile sensör gürültüsünün kendisinden doğdu.

Kovaryans matrisi: ölçülmeyeni kestirmek

Buraya kadar tek sayı kestirildi; gerçek sistemlerde ise birlikte değişen çok büyüklük vardır, üstelik bazılarını sensör hiç doğrudan ölçmez. Aynı arabada konumla birlikte hız da kestirilmek istenirken GPS yalnızca konum bildirmeye devam etsin: state artık iki sayı içerir ve belirsizlik tek varyansla anlatılamaz. Bunun yerine kovaryans matrisi denen küçük bir sayı tablosu kullanılır; köşegendeki girdiler konumla hızın ayrı ayrı belirsizliğini, köşegen dışındakiler iki büyüklüğün hatalarının nasıl ilişkili olduğunu söyler. Bu ilişki tahmin adımında kendiliğinden doğar: konum hıza göre ileri taşınır, hız kestirimi yüksekse öngörülen konum da ileride çıkar, iki hatala birbirine bağlanır ve filtre bu bağı izler. Yeni GPS okuması gelince bu bağlantı işe yarar: ölçüm arabanın öngörülenden geride olduğunu söylerse filtre yalnızca konumu geri çekmez, hızla konum hatalarının ilişkili olduğunu bildiği için hız kestirimini de düşürür, oysa GPS hızı hiç ölçmemiştir. Denklemler matrislerle ağırlaşır, mantık aynı kalır.

Gerçek sistemler ve filtrenin sınırları

Bu matrisli biçim çok daha gerçekçi sistemlerde kullanılır: Apollo'nun seyrüsefer sistemi üç boyutta konum ve hız izliyor, yıldız bakışları state'in yalnızca bazı parçalarını gösteriyordu; telefon nispeten yavaş GPS güncellemelerini ivmeölçer ve jiroskoplardan gelen çok daha hızlı okumalarla birleştirir. MDPI'da yayımlanan akıllı telefon seyrüsefer çalışmasına göre farklı hızlardaki jiroskop ve ivmeölçer verilerini kaynaştıran uyarlanmış filtreler Android telefonlarda konum sürekliliğini belirgin biçimde iyileştirir. NIH'ın PMC arşivinde yayımlanan Atina Teknik Üniversitesi değerlendirmesi de telefon GNSS ve IMU sensörlerinin başarımını titizlikle ölçer. Elektrikli araçlar doğrudan hiç ölçülemeyen batarya şarj durumunu aynı genel fikirle kestirebilir; Nature'da yayımlanan uyarlanabilir genişletilmiş Kalman çalışmasına göre parametre uyarlamalı filtreler lityum iyon bataryalarda şarj kestirimini sağlamlaştırır.

Tüm bunlar filtrenin varsayımları makul kaldıkça iyi çalışır; varsayımlar kırılmaya başlayınca temel Kalman filtresi sorun çıkarır. Birinci büyük varsayım sistemin lineer olmasıdır, yani tahmin ve ölçümün doğru-lineer ilişkilerle anlatılabilmesi; çan eğrisi lineer sistemden geçince çan eğrisi kalır ve belirsizlik hesapları yönetilebilir olur. Gerçek sistemler her zaman bu kadar uysal değildir: dönen bir araç ya da menzil ve açı ölçen bir radar eğri ilişkiler içerir, temel filtre doğrudan uygulanamaz. Yaygın çözümlerden biri genişletilmiş Kalman filtresi dir, lineer olmayan sistemi o anki kestirim çevresinde lineer gibi yaklaştırır; öteki kokusuz Kalman filtresi dir, özenle seçilmiş noktaları eğri sistemden geçirip dağılımın nasıl değiştiğini kestirir. Belirsizlik tek çan eğrisiyle makul biçimde temsil edilemiyorsa particle filtreleri fikri daha ileri taşıyıp dağılımı geniş bir örnek bulutu olarak temsil eder. MathWorks'ün van der Pol osilatörü örneğine göre kokusuz Kalman ve particle filtreleri bu tür eğri sistemlerde kestirimi sürdürebilir.

Filtrenin çökmesinin bir başka yolu da ona yanlış gürültü seviyeleri vermektir: model gerçekte olduğundan çok daha güvenilir anlatılırsa öngörü varyansı küçük olur, kazanç düşer, filtre onu düzeltmesi gereken ölçümleri görmezden gelmeye başlar. Kestirim gerçekten uzaklaşırken filtre haklı olduğundan giderek emin olur; bu yüzden process noise ile sensör gürültüsüne gerçekçi değerler seçmek bu işi pratikte kullanmanın en önemli parçalarından biridir. Tüm matrislerin ve varyantların altında filtre hâlâ aynı şeyi tekrarlar: şu an neye inandığını, bu inancın ne kadar belirsiz olduğunu ve her yeni bilginin ne kadar güvenilir olması gerektiğini izler, sonra bu belirsizliği her kaynağın ne ağırlık hak ettiğine karar vermek için kullanır. İki kusurlu bilgi kaynağı böylece her birinin tek başına verebileceğinden daha güvenilir bir kestirim üretir.