La machine qui a fait tomber un problème du millénaire : Navier-Stokes et le bond mathématique de l'IA

L'intelligence artificielle peut-elle être vraiment créative, ou n'est-elle qu'une machine qui recombine vite ce que les humains ont produit ? Le physicien Brian Greene ouvre la conversation du World Science Festival sur cette question et rappelle comment le critère n'a cessé de bouger : du test de conversation de Turing à la rédaction d'essais, des examens standardisés aux problèmes de l'Olympiade internationale de mathématiques résolus à l'été 2025. Chaque seuil fut franchi, mais la barre recula chaque fois.

À l'horizon se dresse une cible d'une autre échelle : les sept problèmes du millénaire, chacun doté d'un million de dollars par l'Institut Clay en 2000. Un quart de siècle plus tard, un seul est tombé et six attendent une réponse. Selon la liste officielle ClayMath, ces sept énoncés comptent parmi les questions ouvertes les plus profondes des mathématiques, et l'Institut tient une page dédiée pour chacun.

L'un d'eux porte sur les équations de Navier-Stokes qui régissent le mouvement des fluides. De l'eau dans un tuyau à l'air qui tourbillonne au-dessus de la terre, des courants océaniques au sang dans les vaisseaux, ces équations produisent en pratique des prédictions remarquablement exactes ; l'ingénieur qui dessine une aile d'avion et le chirurgien qui conçoit une valve cardiaque font confiance aux mêmes mathématiques.

Le secret réside dans leur non-linéarité : l'écoulement agit sur l'écoulement lui-même, en interaction avec son propre mouvement. Dans les systèmes linéaires, deux solutions s'additionnent pour en former une troisième, mais ici cette belle propriété disparaît. L'orateur souligne que l'analyse de structures linéaires comme l'équation de Schrödinger est bien plus facile pour cette raison ; les fluides du monde réel n'offrent pas ce confort.

La question de la vitesse infinie

Un écoulement parti d'un état régulier peut-il développer une singularité en temps fini, avec des vitesses croissant sans borne ? Puisqu'aucun fluide réel ne peut se déplacer infiniment vite, un tel résultat signifierait l'effondrement du modèle. Comme l'explique l'auteur mathématique Kolen dans une synthèse technique, les scénarios d'explosion éclairent la physique justement en montrant où les équations s'effondrent.

Il faut ici distinguer deux familles : l'idéalisation sans frottement des équations d'Euler et le réalisme de Navier-Stokes avec frottement. Le résultat de singularité de Tarek Elgindi pour Euler se situait un cran sous la régularité complète, et la communauté ne mesura que plus tard l'importance de cet écart ; pour l'orateur, c'est un cas typique de mémoire scientifique sélective.

L'intuition du physicien veut que le frottement freine l'explosion, mais les travaux de non-unicité de Buckmaster et Vlad Vicol ont traité la viscosité comme un simple désagrément. Le frottement rend l'explosion plus difficile, mais si le mécanisme non linéaire est assez fort, l'équation s'emballe quand même ; tout dépend du mécanisme qui domine.

L'ordinateur s'invite à la table des preuves

L'entrée des ordinateurs dans les preuves n'est pas neuve : dans le théorème des quatre couleurs comme dans la preuve de la conjecture de Kepler par Hales, le papier et le crayon réduisirent le problème à un nombre fini de calculs achevés par la machine. Ces résultats firent d'abord grimacer les mathématiciens purs, puis la méthode gagna sa légitimité ; le débat actuel ressemble à cet ancien soupçon revenu avec un matériel bien plus puissant.

L'innovation testée par Buckmaster avec son collaborateur Levent Alpoge depuis un an fut d'interroger non un modèle unique mais des agents IA harnachés. La même question part vers des centaines d'agents qui se coordonnent, et un modèle même plus faible peut surpasser les forts grâce à la foule. Les équipes de recherche DeepMind ont tourné une infrastructure d'agents comparable vers les problèmes de fluides et publié les résultats à l'automne 2025.

Le moment le plus frappant de la soirée tient aux preuves produites par l'IA : écrites dans la pire langue qu'un humain voudrait lire, elles restent correctes. Buckmaster raconte que Gemini, ChatGPT et Claude comprenaient tous ce texte apparemment absurde, tandis que l'humain n'y voyait même pas de l'anglais ; les modèles se comportent comme s'ils avaient développé une langue commune.

La course entre entreprises

L'affaire ne resta pas au laboratoire : une information fuitée d'Anthropic vers OpenAI répandit la rumeur de la chute d'un problème du millénaire, des paris s'ouvrirent sur les réseaux, et les entreprises passèrent en alerte rouge. Selon Buckmaster, les modèles internes d'OpenAI et d'Anthropic diffèrent peu ; ce qui fait la différence, c'est la puissance de calcul pour faire courir des armées d'agents, et des millions de dollars y passent.

Buckmaster soutient que le résultat sur Euler marque un seuil au-delà de l'intellect humain, un tournant comparable à la victoire de Deep Blue sur Kasparov aux échecs. Pour lui, ce n'est la victoire d'aucune entreprise mais une rupture que toute la communauté mathématique doit digérer, avec des effets bien au-delà des mathématiques, sur la société entière.

Dans son annonce du 8 septembre 2026, OpenAI a déclaré qu'un modèle interne avait produit une solution au problème de Navier-Stokes : un écoulement parti du repos, poussé par une force régulière avec une énergie finie, développe une singularité en temps fini, dans une preuve analytique aussi vérifiée formellement en Lean. L'entreprise affirme que ce système dépasse nettement GPT-6 Astra et tranche les énoncés C et D du texte officiel du millénaire.

Ce qui intrigue, c'est que le point de départ de cette preuve coïncide presque exactement avec l'endroit où l'équipe de Buckmaster s'était arrêtée, une rencontre survenue un jour ou deux après le partage du nom. L'équipe d'OpenAI emploie le même mécanisme à l'envers : la structure que Buckmaster utilisait pour produire l'explosion, ils la font croître pour stabiliser la singularité. Un progrès qui prendrait une décennie à l'échelle humaine semble couvert en quelques jours par l'IA.

La portance inexpliquée

La digression qui surprend les physiciens tient à ce que la sustentation des avions ne se déduit toujours pas entièrement des premiers principes. Comme l'expliquent les notes du MIT sur les profils d'aile, le récit standard repose sur la différence de pression, la cambrure et l'angle d'attaque : la viscosité crée le tourbillon de démarrage, qui induit la circulation autour de l'aile. Mais ce récit d'ingénieur n'est pas une dérivation rigoureuse des équations, plutôt un cadre rapiécé d'hypothèses supplémentaires.

Pendant ce temps, le lien entre l'IA et les mathématiques dépasse les fluides : une étude de raisonnement formel de niveau olympiade publiée dans Nature a montré des modèles résolvant des sujets de compétition dans des environnements comme Lean. L'histoire de Buckmaster prolonge cette lignée vers les mathématiques de recherche, la vérification formelle servant de pont pour croire des preuves que l'œil humain ne peut lire.

Pour revenir aux fluides, le tableau est désormais net : les équations fonctionnent parfaitement en ingénierie, mais sous la rigueur mathématique elles produisent soit des singularités, soit d'innombrables solutions. La contradiction n'est pas un défaut mais une carte des frontières du modèle ; savoir où passe la frontière, c'est savoir où l'équation reste fiable.

La réponse à la question d'ouverture de Greene, selon Buckmaster, n'est plus négative : l'IA engendre des idées à l'échelle du millénaire en comprimant des mois de travail humain en quelques jours. Pourtant, le dernier mot restera humain ; rendre les preuves lisibles, les contrôler et les interpréter demeure le travail des mathématiciens, et cette collaboration semble partie pour définir la pratique scientifique des années à venir.