Por qué los filtros de Kalman funcionan tan bien: una estimación correcta desde dos fuentes imperfectas

En 1968, tres astronautas volaron a la Luna guiados por un ordenador con apenas unos kilobytes de memoria de trabajo. Durante todo el viaje aquel ordenador debía saber con exactitud dónde estaba la nave, y tenía dos formas de lograrlo: la física y la medición. La física era sencilla; si sabes dónde estabas y a qué velocidad te movías, puedes calcular dónde deberías estar ahora. Pero el error más diminuto se arrastra al cálculo siguiente, los errores se acumulan y la estimación se aleja poco a poco de la posición verdadera. Según el relato de navegación del Apollo de NASA, las correcciones a partir de observaciones de estrellas fueron lo que mantuvo a raya esa deriva.

La segunda vía era la propia medición: los astronautas observaban estrellas con un sextante y usaban esas observaciones para corregir la estimación. Estas lecturas nunca sufrían deriva acumulativa y permanecían ancladas a la realidad; pero cada observación traía su propio ruido, así que las lecturas saltaban de una a otra. El programa de navegación combinaba ambas fuentes, y el resultado superaba a cada una por separado. La misma idea vive hoy en el teléfono que llevas en el bolsillo: un modelo de movimiento se fusiona con las mediciones del GPS para que el punto azul del mapa deje de saltar cada vez que la señal se vuelve ruidosa. Ese método se llama filtro de Kalman.

Primero, nombremos lo que se estima: el estado del sistema

Para entender por qué combinar dos fuentes, cada una equivocada de forma distinta, da un resultado más fiable, primero hay que nombrar lo que realmente se estima: el estado , el conjunto de números que describe el sistema en este momento. Para un coche en carretera el estado puede ser tan simple como su posición; en un caso más realista también podría incluir la velocidad y la aceleración. El problema es que este estado nunca puede observarse a la perfección; siempre existen las mismas dos fuentes imperfectas, una del modelo de cómo se mueve el sistema y otra de un sensor que lo mide.

Cada fuente falla a su manera. El modelo ofrece una predicción suave, pero cada error de predicción se arrastra hacia adelante; cuanto más tiempo se confía en él, más puede derivar, y la realidad nunca lo devuelve atrás. El sensor sigue atado al mundo real, pero cada lectura es ruidosa, así que la estimación tiembla con cada medición. Confiar solo en el sensor significa una estimación saltarina, confiar solo en el modelo significa una estimación a la deriva. Promediar ambas con un reparto fijo de 50 y 50 solo tiene sentido cuando ambas fuentes son igual de fiables; en la práctica eso casi nunca es cierto.

La curva de campana y la sorpresa de los seis metros

La solución es un peso que refleja cuánto merece confianza cada fuente en este momento. Para construirlo, el filtro registra no solo su mejor estimación sino también lo incierta que es: la creencia no se representa con un solo número sino con una curva de campana , donde el centro es la mejor conjetura y la dispersión, llamada varianza, dice lo inseguro que estamos. El experimento mental es así: desde la posición anterior, la velocidad y el tiempo transcurrido, el modelo predice que el coche está a 100 metros con varianza 4, así que la estimación suele estar a unos 2 metros de la verdad. En ese mismo instante el GPS indica 106 metros pero es más impreciso, con varianza 12, así que sus lecturas suelen fallar por tres o cuatro metros. Las dos estimaciones discrepan por 6 metros; la brecha entre lo predicho y lo medido se llama innovación , o más sencillamente la sorpresa.

¿Cuánto de esa sorpresa de 6 metros debe creerse? El filtro de Kalman responde con un número llamado ganancia de Kalman : la ganancia es la varianza de predicción dividida por la varianza total de ambas fuentes, así que 4 sobre 4 más 12 equivale a 1/4. El filtro se desplaza un cuarto del camino desde la predicción hacia la medición; un cuarto de 6 metros es 1,5, así que en lugar de saltar de 100 a 106, la nueva estimación queda en 101,5 metros. Permanece cerca de la predicción porque esta vez la predicción era la fiable. Según el resumen de ecuaciones de kalmanfilter.net, este orden de predicción y actualización forma las cinco ecuaciones centrales del filtro. Lo más interesante está en la incertidumbre: tras la actualización la nueva varianza es 3, menor que el 4 de la predicción y muy menor que el 12 del GPS. Así que combinar una fuente bastante buena con otra peor produjo una estimación mejor que la buena fuente sola. La razón es que la ganancia se elige para minimizar la varianza restante: si los errores de predicción y del sensor son independientes, la varianza combinada puede escribirse directamente, subir la ganancia reduce la contribución de la predicción mientras aumenta la del sensor, y en algún punto intermedio yace el mínimo de varianza total. Igualar la pendiente a cero produce exactamente la expresión usada antes. El resultado también adopta una forma elegante: 1 sobre la nueva varianza equivale a 1 sobre la varianza de predicción más 1 sobre la varianza del sensor; 1 sobre la varianza se llama precisión, así que las precisiones se suman, 1/4 más 1/12 equivale a 1/3.

El ciclo de predicción y actualización y su equilibrio natural

La ganancia se comporta justo como se desea: con un sensor perfecto su varianza es cero, la ganancia se vuelve uno y todo se desplaza hacia la medición; con un sensor extremadamente ruidoso la ganancia tiende a cero y la lectura casi se ignora. Pero el coche sigue moviéndose tras cada medición, así que el filtro repite este proceso mientras su propia incertidumbre evoluciona. En el paso de predicción el modelo lleva la estimación hacia adelante; un coche a 20 m/s se predice 20 metros más adelante un segundo después, mientras la incertidumbre crece porque el modelo nunca es perfecto, añadiendo varianza extra llamada ruido de proceso en cada paso, una unidad por segundo en este ejemplo. Luego llega una medición y el paso de actualización calcula la ganancia, desplaza la estimación parte del camino desde la predicción hacia la medición y vuelve a estrechar la varianza; la curva de campana se ensancha al predecir y se recoge al medir. Para ver cómo se asienta con el tiempo, el filtro arranca con una primera conjetura pésima de varianza 100, admitiendo en la práctica que casi nada sabe. En la primera actualización la ganancia ronda 9/10, así que el filtro se apoya en el GPS, justo lo correcto mientras el modelo sigue muy incierto, y la varianza cae a unos 11. En el paso siguiente la ganancia baja a cerca de 1/2, luego a algo más de 1/3, y se estabiliza cerca de 1/4 tras unos 10 pasos; la varianza entonces oscila entre 4 tras predecir y 3 tras actualizar, los mismos números del ejemplo anterior, que no eran un peso elegido a mano sino el filtro en su estado estable. Lo importante es esto: nadie dijo al filtro que confiara en el GPS en un cuarto; ese peso emergió de los propios ruidos de proceso y del sensor.

La matriz de covarianza: estimar lo que nunca se mide directamente

Hasta ahora solo se estimaba un número; los sistemas reales tienen varias magnitudes que cambian juntas, incluidas algunas que los sensores nunca miden directamente. Tomemos el mismo coche pero estimemos posición y velocidad mientras el GPS sigue informando solo la posición: el estado contiene ahora dos números y la incertidumbre necesita más que una sola varianza. En su lugar se usa una pequeña tabla llamada matriz de covarianza ; las entradas diagonales dan la incertidumbre de posición y velocidad por separado, mientras las entradas fuera de la diagonal dicen cómo se relacionan los errores de ambas. Ese vínculo nace de forma natural al predecir: la posición avanza con la velocidad, así que una velocidad estimada alta empuja demasiado adelante la posición predicha, los dos errores quedan acoplados y el filtro registra ese acoplamiento. Cuando llega un GPS nuevo la conexión rinde frutos: si el coche aparece detrás de la predicción, el filtro no solo retrasa la posición sino que también reduce la velocidad estimada, sabiendo que los errores de posición y velocidad se mueven juntos, aunque el GPS nunca midiera la velocidad. Las ecuaciones se vuelven más pesadas con matrices; la lógica sigue idéntica.

Sistemas reales y los límites donde finalmente falla el filtro

Esta forma matricial funciona en sistemas mucho más realistas: la navegación del Apollo registraba posición y velocidad en tres dimensiones mientras las observaciones de estrellas solo revelaban partes de ese estado; un teléfono fusiona lentas actualizaciones del GPS con lecturas mucho más rápidas del acelerómetro y el giroscopio. Según un estudio de navegación con teléfonos publicado por MDPI, los filtros adaptados que fusionan datos de giroscopio y acelerómetro a ritmos distintos mejoran notablemente la continuidad de posición en teléfonos Android. Una evaluación de una universidad técnica de Atenas, archivada por NIH en PMC, mide con rigor el rendimiento de sensores GNSS e IMU en teléfonos. Los coches eléctricos pueden estimar la carga de la batería, nunca medible directamente, con la misma idea general; según un estudio de Kalman extendido con parámetros adaptativos publicado por Nature, los filtros adaptativos refuerzan la estimación de carga en baterías de iones de litio.

Todo eso funciona mientras se cumplen los supuestos del filtro; cuando empiezan a romperse, el filtro de Kalman básico tiene problemas. El primer supuesto importante es que el sistema sea lineal , es decir que la predicción y la medición sigan relaciones de línea recta; una curva de campana que atraviesa un sistema lineal sigue siendo una curva de campana, y eso mantiene manejables las matemáticas de incertidumbre. Los sistemas reales no siempre son tan cómodos: un vehículo que gira o un radar de distancia y ángulo implican relaciones curvas, y el filtro básico ya no se aplica directamente. Una solución común es el filtro de Kalman extendido , que aproxima el sistema no lineal como lineal alrededor de la estimación actual; otra es el filtro de Kalman unscented , que envía puntos cuidadosamente elegidos por la no linealidad para estimar cómo cambia la distribución. Donde la incertidumbre ya no cabe en una sola curva de campana, los filtros de partículas llevan la idea más lejos y representan la distribución como una gran nube de muestras. Según MathWorks y su ejemplo del oscilador de van der Pol, los filtros unscented y de partículas mantienen viva la estimación en tales sistemas curvos.

Existe otra forma de que el filtro falle: recibir niveles de ruido equivocados. Si se le dice que el modelo es mucho más fiable de lo que es, la varianza predicha sale demasiado pequeña, la ganancia cae y el filtro empieza a ignorar mediciones que deberían haberlo corregido. La estimación puede entonces alejarse de la realidad mientras el filtro se vuelve cada vez más seguro de tener razón, y por eso elegir valores realistas de ruido de proceso y de sensor es una parte tan importante de usarlo en la práctica. Bajo todas las matrices y variantes, el filtro de Kalman sigue haciendo lo mismo: registrar lo que cree, lo incierta que es esa creencia y lo fiable que debería ser cada información nueva, para luego usar esa incertidumbre y decidir qué peso merece cada fuente. Así es como dos fuentes imperfectas de información producen una estimación más fiable que cada una por separado.