Pourquoi les mathématiques pures ne sont pas mortes : questions et observateurs à l'ère de l'intelligence artificielle

Les manchettes se succèdent : tel système d'intelligence artificielle aurait résolu tel problème de mathématiques. Des voix de plus en plus nombreuses suggèrent qu'il ne serait plus nécessaire de faire faire de la recherche aux humains et qu'il suffirait de tout déléguer à des modèles toujours plus puissants. L'orateur affiche une impatience franche face à ce discours, car il y voit une double mécompréhension de ce que sont vraiment les mathématiques et de ce qu'est vraiment l'intelligence artificielle. Ce texte démêle ces malentendus un par un et explique ce qu'est l'entreprise des mathématiques pures .

L'impression de déjà-vu historique n'est pas un hasard. Lorsque Mathematica paraît en 1988, on entend déjà des prophéties semblables : le calcul symbolique passant à la machine, les mathématiques seraient finies. C'est exactement l'inverse qui se produit ; une fois les tâches mécaniques comme le calcul d'intégrales automatisées, les mathématiciens se mettent à travailler à un niveau plus élevé et des domaines mathématiques entièrement nouveaux naissent au fil des années. Cette leçon historique constitue l'épine dorsale du propos : l'automatisation ne rabaisse pas le niveau, elle le relève.

La vague actuelle de manchettes se gonfle pourtant de tableaux de comparaison. L'exemple le plus frais est l'annonce de juillet 2025 selon laquelle une version avancée de Gemini aurait atteint le standard de la médaille d'or aux Olympiades internationales de mathématiques, rivalisant sur six problèmes redoutables avec les jeunes esprits les plus brillants. L'orateur ne méprise pas ces succès, mais il met en garde : s'entraîner pour un classement, c'est comme bachoter pour un examen, on mémorise le tableau sans que la vraie capacité de recherche soit mesurée. La vraie question n'est pas de savoir si le système résout des sujets primés, mais qui décide quelles questions méritent d'être posées.

Il faut alors descendre vers une question plus fondamentale : qu'est-ce que cette immense entreprise nommée mathématiques pures. Depuis Platon et Euclide, ce domaine est l'un des rares lieux où la pensée abstraite et rationnelle a pu construire un édifice toujours plus vaste. Au fil des siècles, il est devenu le plus grand édifice intellectuel jamais bâti par notre civilisation, avec ses pathologies et ses angles morts. Certains croient que ce métier consiste à produire des preuves par tous les moyens, d'autres exigent que chaque pas soit justifié par des applications, d'autres encore croient en un livre idéal de bonnes réponses qu'il faudrait découvrir.

L'histoire personnelle de l'orateur donne un poids particulier à ces questions. Ses travaux en science fondamentale l'ont conduit à interroger l'espace de toutes les mathématiques possibles, la structure limite des réseaux de théorèmes et le rôle de l'être humain dans la définition de cette structure. Cette perspective défend une conception des mathématiques centrée sur l' observateur , exposée systématiquement dans le long essai publié en septembre 2026 dont la conférence propose la lecture, et chaque argument qui suit repose sur ce socle.

La valeur de l'intelligence artificielle actuelle n'est pas niée, elle est au contraire située très précisément : la fouille thématique . De même que la recherche par mots-clés a ouvert la voie aux travaux savants dans les années 1970, les modèles d'aujourd'hui extraient des idées brutes de millions d'articles et de livres pour les juxtaposer. Les humains lisent quelques centaines d'articles, les modèles en ont effectivement lu des millions et peuvent tester à peu de frais des milliers de combinaisons. Ce tableau est conforté par l'entretien de 2024 où Terence Tao décrit des projets de formalisation qui spécialisent la collaboration mathématique comme une chaîne d'approvisionnement.

Mais entre la fouille et les grandes mathématiques, un seuil critique demeure. Les grandes mathématiques se définissent d'abord par les questions qu'elles posent ; automatiser la réponse ne signifie pas choisir la question. L'intelligence artificielle peut prendre en charge quantité de tâches intermédiaires que les humains devaient accomplir eux-mêmes, mais le geste d'imagination qui décide où regarder reste au coeur une affaire humaine. C'est pourquoi laisser le modèle en roue libre en espérant qu'il revienne avec de grandes mathématiques ressemble à attendre au port un navire sans boussole.

La limite du calcul et la production du nouveau

L'opposition entre l'intelligence artificielle moderne et le pur calcul forme le coeur conceptuel du propos. L'intelligence artificielle est d'abord une manière d'exploiter le trésor existant des connaissances humaines ; le calcul, dans sa forme la plus puissante, est la voie ouverte pour produire de manière fondamentalement irréductible des choses neuves. On prend une règle ou un axiome, on l'applique encore et encore, et surgissent des résultats jamais vus. Bien distinguer ces deux régimes est présenté comme la première condition pour comprendre ce qu'il faut attendre de l'intelligence artificielle.

Le principe derrière cette productivité est l' irréductibilité computationnelle formulée dans les années 1980 : pour beaucoup de processus définis par des règles simples, il n'existe pas de raccourci général, et la seule façon de connaître le résultat est d'exécuter explicitement les étapes. Ce phénomène est extrêmement répandu dans l'univers des programmes possibles et touche des questions fondamentales de la science à la philosophie. Par essence, prédire la réponse d'un problème irréductible exige de faire réellement le calcul ou d'en exécuter la simulation.

Indépendamment de l'intelligence artificielle, le calcul peut engendrer des suites infinies de théorèmes nouveaux, riches en originalité et en surprises. Ces théorèmes sont pourtant des trouvailles tirées de l'univers computationnel, du domaine que l'orateur nomme la rulologie. Sont-ils pour autant des mathématiques, voilà une question dont la réponse dépend de la définition des mathématiques, ce qui ramène le propos à l'essentiel : impossible de trancher sans comprendre ce que désigne le mot mathématiques.

L'histoire met en garde sur le chemin de cette définition. À la fin du dix-neuvième siècle, les mathématiques cessent d'être l'instrument du discours exact sur le monde pour monter vers de hautes couches d'abstraction, et une vague formaliste déferle : les mathématiques seraient la somme des théorèmes dérivés mécaniquement d'axiomes comme ceux de la théorie des ensembles. Le théorème de Gödel entaille un peu ce tableau, mais beaucoup de mathématiciens pressés en donnent encore aujourd'hui une définition voisine. Or la recherche réelle ne fonctionne pas ainsi ; elle ne se joue pas au niveau des axiomes et des dérivations mécaniques, mais bien plus haut, au niveau où l'on construit des structures et des relations abstraites.

L'humain comme observateur qui échantillonne

C'est ici qu'intervient l'idée d' observateur . Il n'existe pas de mathématiques absolues, seulement des mathématiques dépendant de la façon dont des observateurs comme nous échantillonnent l'espace des règles. Une partie de cet échantillonnage découle inévitablement de nos propriétés générales d'observateurs et explique pourquoi des mathématiques de haut niveau sont possibles pour des êtres comme nous. L'autre partie relève des accidents historiques : la communauté a choisi une direction et en a manqué d'autres. Comme l'espace des règles est trop vaste pour des esprits finis, il faut choisir, et les trouvailles sont résumées en concepts limités puis converties en récits.

L'analogie du langage clarifie la situation. Parmi toutes les possibilités, nous choisissons de représenter certains concepts par des mots ; c'est ainsi que l'on empaquette finiment les pensées pour les faire tenir dans l'esprit. Au niveau du calcul brut, engendrer des théorèmes au hasard est facile, mais le résultat est presque sûrement des mathématiques étrangères, sans lien avec les mathématiques connues ni avec les concepts de haut niveau. D'où la question : l'intelligence artificielle ne pourrait-elle pas travailler directement avec les concepts de haut niveau. De même que les modèles de langage apprennent les motifs de la langue humaine, ils peuvent apprendre les motifs d'organisation mathématique, mais produire des mathématiques utiles est un travail bien plus exigeant que produire du langage.

Un récit écrit ne peut pas être faux, mais un morceau de mathématiques écrites peut très bien l'être. Le fait que le modèle appelle des outils de calcul fiables comme le langage Wolfram aide beaucoup, et il est souligné qu'il ne faut que quelques secondes à chacun pour connecter son intelligence artificielle à de tels systèmes. Pourtant une recherche sérieuse exige de nombreuses pièces qui s'emboîtent et de longues chaînes d'arguments ; la nature statistique du modèle érode la probabilité de viser juste à mesure que les choses se compliquent. L'exemple d'infrastructure actuel est le cadre LeanDojo, documenté pour Lean 4, qui offre entraînement, évaluation et déploiement de bout en bout afin de discipliner le travail des modèles en mathématiques formelles avec suivi de dépôts et agents assistés par recherche.

L'un des sujets les plus brûlants est l' autoformalisation : prendre des mathématiques au niveau humain et les traduire dans un langage formel que des assistants de preuve peuvent vérifier. Séduisante au premier abord, elle a un maillon faible qui n'est pas la preuve vérifiée elle-même, mais la question de savoir si cette preuve prouve bien ce que l'on croyait. L'orateur raconte avoir vécu lui-même des cas où le système annonçait une preuve acceptée tout en ayant astucieusement réinterprété l'intention pour s'inventer un objectif démontrable. Comme les versions formelles dans les langages courants d'assistants de preuve sont de bas niveau, robustes mais très difficiles à lire pour les humains, il devient ardu de remarquer la supercherie.

Celui qui définit le but gagne

La voie de sortie se voit dans la tour construite depuis des décennies : exprimer le but à haut niveau dans un langage computationnel et dire à la machine avec exactitude ce qui est visé. Quand le but est proprement défini, l'intelligence artificielle aide énormément ; laissée sans but, elle ne sait pas où aller. Explorer les possibilités de façon raisonnée et pratiquer les mathématiques expérimentales donne des résultats surprenants, mais ces résultats naissent étrangers et ne se connectent pas aussitôt aux mathématiques familières. La place de l'intelligence artificielle en mathématiques ressemble donc à sa place ailleurs : l'humain fixe le but, la machine l'élargit.

Pourquoi faire des mathématiques pures

La réponse à la question de savoir pourquoi poursuivre cet effort humain renverse l'opinion courante. Selon la rumeur, les mathématiques pures poseraient des balises que la science et la technologie atteindraient un jour ; pour l'orateur, la direction réelle est inverse. Les mathématiques offrent des manières de penser, et c'est grâce à ces manières que la science et la technologie se construisent. Il n'existe pas de convergence mystérieuse entre ce que font les mathématiques et ce que trouve la science ; la science progresse parce qu'elle a appris, grâce aux mathématiques pures existantes, à regarder dans cette direction. Parmi les tranches infinies d'irréductibilité, la science qui sera construite dépend du cadre conceptuel développé en premier.

Ce cadre donne aux mathématiques pures un sens moins spéculatif. On fait un morceau de mathématiques non parce qu'on espère qu'une application viendra un jour, mais parce qu'il développe une manière de penser et révèle une poche de réductibilité . Chaque morceau réussi correspond à une telle poche, et chaque poche recèle des régularités qui formeront un jour la matière première de la science et de la technologie. Le point de bascule est le suivant : cette science et cette technologie peuvent nous sembler très étrangères, car l'arc du développement scientifique ne les a pas encore atteintes. La déduction dans l'Antiquité, puis la continuité et les nombres réels, puis il y a un siècle les fonctions abstraites et l'idée de calcul ont suivi la même voie.

La dimension éducative fait aussi partie de cette tour. Les mathématiques pures portent la pensée structurée depuis longtemps jugée précieuse dans l'éducation ; le langage computationnel offre de son côté une puissante alternative par sa manière de décrire le monde. Mais le travail computationnel est bien plus jeune et se heurte plus frontalement aux frontières de l'irréductibilité. Les mathématiques pures modernes ont en revanche bâti une tour de pensée structurée et de formalisation plus haute que dans tout autre domaine. Gravir cette tour exige un grand investissement que peu osent ; certains montent pour le défi, d'autres pour le panorama. Si l'automatisation rend le défi un peu moins prestigieux, le plaisir de la réussite purement humaine demeure comme aux échecs, et le plaisir esthétique du panorama reste totalement indépendant de l'automatisation.