Einstein'ın Alan Denklemini Anlamak: Tensör ve Metrik

Bölüm genel görelilik serisinin parçası; eğriliği anlatan kısmın hemen ardından geliyor. Bugünkü söz, matematiğin içine adım atmak; o adımın aracının adı var: tensör. Soru şu: böyle bir nesne gerçekte ne ve kütleçekim ona neden ihtiyaç duyuyor.

Arayış tutunacak bir şeyle başlıyor. Sezginin ayağının kaydığı eğri ortamlarda bölüm, anlamını her yerde koruyan bir büyüklük, bir değişmez arıyor. Özel görelilik zaten bir tane vermişti; buradaki aday çizgi elemanı, yani sonsuz küçük uzaklıkların kuralı.

Sıradan üç boyutlu uzayda kural tanıdık: küçük bir uzaklığın karesi, her eksendeki küçük adımların kareleri toplamı. Sonra eksenler indisle yeniden adlandırılıyor: birinci, ikinci, üçüncü yön; böylece alfabe tüketmeden yeni yönler eklenebiliyor.

Ardından Hermann Minkowski'ye atfedilen bilinçli dolambaçlı yeniden yazım geliyor. Kare adımlar, adımların kendiyle çarpımı diye açılıyor; araya karışık çarpımlar ekleniyor; bir katsayı tablosu akıbetlerine karar veriyor: birle çarpılanlar yaşıyor, sıfırla çarpılanlar yok oluyor.

Mesele o tablonun kendisi. Katsayılar ızgaraya oturunca tüm uzaklık kuralı iki indis üzerinden çift toplam diye yazılabiliyor; eta denen ızgara ağırlıkları veriyor. Bir paragraf cebir, tek kompakt satıra dönüşüyor.

Ama dünyanın içinde zaman var. Özel görelilik, zaman adımının sıfırıncı koordinat olarak yapıya katılması gerektiğini öğretmişti; özünde ışık hızıyla ölçeklenmiş saat okuması ve karesine bir eksi işareti gerekiyor. Toplamlar birden değil sıfırdan koşuyor; ızgaranın köşegenine negatif bir giriş ekleniyor.

Izgara adını hak etti: metrik, nerede olursan ol uzaklıkları kullanma talimatı. Buraya kadar her şey hâlâ düz geometri, hâlâ özel görelilik; hikâyeye kütle girmedi. Olan biten, bu yeni nesnenin bedeliyle alınmış verimli bir yeniden yazım.

Kazanç, koordinatlar eğrilince geliyor. Öklid'inkine hiç benzemeyen uzayların uzaklık kuralları yine aynı kalıpla yazılabiliyor; tek fark yeni ızgara: g denen tensörün girişleri uzayın kendisine göre dolduruluyor. Bir girişte kütleçekim potansiyelinin ışık hızının karesine bölümü durabilir; öbürlerinde sayı ya da fonksiyonlar, bölgenin karmaşıklığına göre.

Tensörlerin kendi hesap kuralları var: birbirleriyle çarpılabiliyor, tanımlı türevleri alınabiliyor; bölüm izleyiciyi bundan muaf tutuyor. Argümanı iki özellik taşıyor: ızgaralar simetrik, yani alt yarı üstü tekrarlıyor; dört çarpı dörtlük ızgarada tam on bağımsız giriş var. Tek tensör denklemi yazmak, bir seferde on denklem yazmak demek.

Bu sıkıştırma genel göreliliğin tüm fikrini tek alan denklemi diye veriyor. Bir yanda eğrilik tensörü, gelenekçe iki Yunan indisiyle yazılıyor; öbür yanda enerji, kütle ve basıncı paketleyen enerji-momentum tensörü, kütleçekim sabitiyle ışık hızından kurulu bir sabitle bağlanıyor. Okuma mantığı: enerji içeriği uzaya nasıl eğrileceğini söylüyor, eğrilik parçacıklara hangi yörüngeyi izleyeceğini. Seçilmiş özellikli bir evren mi isteniyor, örneğin durağan? Lambda denen sabiti, düzgün tensör kalsın diye metrikle çarpıp ekle; kozmolojik terim aynı tek satırda doğuyor. Bu nesnelerle oynamanın ardındaki matematik hayli geniş; bölüm Einstein'ın meşhur sızlanmasıyla kapanıyor: matematikçiler kuramının üzerine çöktüğünden beri kendisi bile anlamıyormuş; hikâyenin arkası gelecek sefere.