Comprendre l'équation de champ d'Einstein : Tenseur et Métrique

L'épisode fait partie d'une série sur la relativité générale et reprend juste après l'épisode sur la courbure. La promesse d'aujourd'hui est d'entrer dans les mathématiques elles-mêmes, et l'outil pour cette étape a un nom : le tenseur. La question est de savoir ce qu'est réellement un tel objet et pourquoi la gravité en a besoin.

La recherche commence par quelque chose à quoi se raccrocher. Dans des environnements courbes, où l'intuition perd pied, l'épisode cherche une quantité qui conserve sa signification partout, un invariant. La relativité restreinte en a déjà fourni un, et le candidat ici est l'élément de ligne, la règle pour les distances infinitésimales.

Dans l'espace tridimensionnel ordinaire, la règle est familière : une petite distance au carré est la somme des pas au carré le long de chaque axe. L'épisode renomme ensuite les axes avec des indices, première, deuxième, troisième direction, afin que d'autres directions puissent être attachées sans renommer l'alphabet à chaque fois.

Vient ensuite la réécriture délibérément maladroite attribuée à Hermann Minkowski, le mathématicien allemand. Les pas au carré sont écrits comme des produits de pas avec eux-mêmes, des produits mixtes supplémentaires sont ajoutés, et une table de coefficients décide de leur sort : les entrées multipliées par un survivent, les entrées multipliées par zéro disparaissent.

Cette table est le point. Une fois que les coefficients sont dans une grille, toute la règle de distance peut être réécrite comme une double somme sur deux indices courants, la grille, nommée eta, fournissant les poids. Un paragraphe d'algèbre maladroit se transforme en une ligne compacte.

Le monde, cependant, contient du temps. La relativité restreinte a enseigné que le pas de temps doit rejoindre la construction comme une coordonnée zéro, essentiellement une lecture d'horloge mise à l'échelle par la vitesse de la lumière, et que son carré a besoin d'un signe moins. Les sommes vont maintenant de zéro au lieu de un, et la grille gagne une entrée négative sur sa diagonale.

La grille a gagné son nom : la métrique, l'instruction pour gérer les distances où que vous soyez. Tout ce qui précède est encore de la géométrie plate, encore de la relativité restreinte ; aucune masse n'est entrée dans l'histoire. Tout ce qui s'est passé est une reformulation efficace, achetée au prix de l'introduction de ce nouvel objet.

Le bénéfice arrive lorsque les coordonnées deviennent courbes. Des espaces qui ne se comportent en rien comme ceux d'Euclide peuvent toujours avoir leurs règles de distance écrites sous la même forme, seulement maintenant avec une nouvelle grille, appelée g, dont les entrées sont remplies selon l'espace lui-même. Une entrée pourrait porter le potentiel gravitationnel sur la vitesse de la lumière au carré ; d'autres contiennent des nombres ou des fonctions, selon la complexité de la région.

Les tenseurs ont leurs propres règles : ils peuvent être multipliés entre eux et différenciés de manières définies, ce que l'épisode épargne au spectateur. Deux caractéristiques portent l'argument : les grilles sont symétriques, de sorte que la moitié inférieure répète la moitié supérieure, et une grille quatre par quatre contient exactement dix entrées indépendantes. Écrire une équation tensorielle signifie écrire dix équations à la fois.

Cette compression livre l'idée entière de la relativité générale comme une seule équation de champ. D'un côté se trouve un tenseur de courbure, conventionnellement écrit avec deux indices grecs ; de l'autre, le tenseur énergie-impulsion contenant l'énergie, la masse et la pression, joint par une constante construite à partir de la constante gravitationnelle et de la vitesse de la lumière. En lisant la logique : le contenu énergétique dit à l'espace comment se courber, et la courbure dit aux particules quels chemins suivre. Besoin d'un univers avec des propriétés choisies, disons un univers statique ? Ajoutez une constante, lambda, multipliée par la métrique pour qu'elle reste un tenseur propre, et le terme cosmologique naît dans la même ligne unique. Les mathématiques derrière la manipulation de ces objets sont certes vastes, et l'épisode se termine par la célèbre plainte d'Einstein selon laquelle depuis que les mathématiciens ont repris sa théorie, il ne la comprend plus lui-même, promettant l'histoire de fond la prochaine fois.