Claude lleva los ceros zeta en la recta crítica del 41,6 % al 67,25 %

Las matemáticas parecen al borde de una crisis, y el culpable es sorprendentemente un resultado que un modelo de IA obtuvo en un problema vinculado a la hipótesis de Riemann. La versión de investigación inédita de Claude, en Anthropic, elevó la cota inferior decenal sobre la proporción de ceros de la función zeta situados en la recta crítica, del 41,6 % al 67,25 %. Ellie Sleightholm, doctoranda en matemáticas en Cambridge, aborda este avance en el primer episodio de su nueva serie sobre las matemáticas en la era de la IA, porque casi todo lo que circula en línea sobre la hipótesis probada o la hipótesis refutada es falso.

Todo empieza con los átomos de los números: los números primos , enteros mayores que 1 divisibles solo por 1 y por sí mismos. Cada entero se factoriza en primos de forma única, como 60 = 2 × 2 × 3 × 5. La función contadora π(x) dice cuántos primos hay bajo x; π(10) vale cuatro, pues los primos bajo 10 son 2, 3, 5 y 7. Su gráfica sube en escalones: tramos planos sin primos nuevos, saltos bruscos en cada primo. Gauss y Legendre conjeturaron a fines del siglo XVIII que esa escalera se ciñe a x dividido por log x, y el teorema de los números primos fue probado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin. Conocemos el promedio; lo que ignoramos es cuánto pueden oscilar las desviaciones en torno a él.

De los primos a la función zeta

En la década de 1730, Euler halló que la suma de los inversos de los cuadrados, 1 + 1/4 + 1/9 + ..., converge a π²/6; es el problema de Basilea. Reemplazar el 2 por s da 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ..., la función zeta de Riemann , y poner s = 2 recupera la suma de Basilea. La fórmula de la serie geométrica se convierte, con R = p⁻ˢ, en un factor por primo, y el producto infinito de Euler sobre todos los primos produce el producto euleriano de la función zeta. Su desarrollo hace aparecer el inverso de cada entero exactamente una vez, gracias al teorema fundamental de la aritmética, como el 12 que surge en la forma 1/(2²×3). La función que describe la distribución de los primos queda así ligada a los primos mismos por multiplicación.

En 1859, Riemann publicó una memoria de pocas páginas, sobre el número de primos menores que una magnitud dada, con una pregunta genial: ¿qué pasa si la definición de Euler se extiende a los números complejos? Escribir s = σ + it deja a s recorrer todo el plano complejo, como conectar 3 + i en vez de 3. Cuando la parte real supera 1, la serie converge limpiamente y produce transformaciones fascinantes. Representar la otra mitad del plano usa la continuación analítica , la única extensión que permite el análisis complejo. La misma extensión explica por qué 1 + 2 + 3 + ... se asocia con −1/12. En esta forma, la función zeta constriñe directamente el crecimiento del conteo de primos, es decir, la fidelidad de los primos a la curva x/log x.

Las entradas que anulan la función zeta, los números complejos con ζ(s) = 0, son el corazón del relato. Los ceros triviales en −2, −4, −6 y demás enteros pares negativos vienen de un factor seno en la fórmula y a nadie emocionan. Lo que importa son los ceros no triviales ; Riemann mostró que viven en la franja crítica donde la parte real de s está entre 0 y 1. La hipótesis afirma que todos ellos yacen en la recta crítica de parte real exactamente 1/2. Este es el problema de la lista ClayMath (el Clay Mathematics Institute) del milenio, premiado con un millón de dólares: el teorema de los números primos gobierna el promedio, la hipótesis gobierna la desviación del promedio. El primer cero no trivial se sitúa cerca de 1/2 + 14,134725i, y un solo contraejemplo, un cero fuera de la recta, destruiría la hipótesis.

De 1859 a 2026: una historia de proporciones

La idea de proporción ha crecido paso a paso durante un siglo. En 1914, Hardy probó que infinitos ceros yacen en la recta crítica, un resultado hermoso en intuición pero sin acercar a la hipótesis, pues infinitos podrían quedar fuera. En 1942, el medallista Fields Selberg mostró que una proporción positiva de los ceros está en la recta, fijando un porcentaje garantizado. Según la cronología de la oradora, Levinson la llevó al 34,7 % en 1974, Conrey al 40,9 % en 1989, y en 2022 se observó 41,7 %. Como recuerda la síntesis de Conrey en los Notices de la AMS, Hilbert colocó el problema entre sus 23 problemas en su discurso de París en 1900; la curiosidad de aquel día se ha vuelto la industria de hoy. En la vía evaluada, Bui, Conrey y Young superaron la barrera del 41 % en 2011, y el récord oficial heredado por Anthropic era del 41,6 %.

Anthropic anunció el resultado el 10 de agosto de 2026 con un mensaje en X y un ensayo explicativo; como informó TechSpot, el experimento corría en una versión de investigación inédita. La primera frase del mensaje es lo que más importa: Jarred Sumner, miembro no matemático del equipo, había pedido a Claude que atacara de verdad la hipótesis misma, el modelo lo intentó y fracasó, pero avanzó de forma inesperada en el problema vecino. Ese es el nudo de la confusión en línea: mientras la empresa decía no haberla resuelto pero sí haber avanzado la cuestión vecina, las publicaciones multiplicaban los está probado, ha caído, caerá el año próximo. Afrontar ese diluvio de desinformación es el motivo principal del video de Sleightholm.

Sesenta agentes, un día y medio

La escala de la orquestación es asombrosa. En la primera ronda, Claude produjo y probó 650 ideas, sin éxito, un cuadro que todo matemático reconoce. En la segunda ronda, Sumner relanzó el modelo, y Claude coordinó unos sesenta subagentes durante un día y medio. Según la nota de Anthropic, dos de esos agentes desarrollaron las ideas matemáticas centrales, 13 alimentaron a esos dos, 30 probaron ideas nuevas sin éxito, 13 sirvieron de revisores verificadores, y los dos últimos redactaron el primer borrador. Juntos ejecutaron 2 400 comandos de shell, escribieron cientos de guiones en Python y gastaron 31 millones de fichas de salida, con miles de pruebas numéricas contra los ceros conocidos. La contribución de Sumner consistió sobre todo en ánimos, variantes de sigue adelante y cree en ti, que parecen haber ayudado a romper el escepticismo inicial del modelo.

El giro nació de un fracaso. Claude había ordenado el problema en una escala de seis peldaños y, en el peldaño superior, intentó construir el objeto matemático que forzaría la hipótesis a ser verdadera; fracaso. Pero un agente llamado R4 notó que la estructura estudiada no se comportaba como un espacio ordinario con producto interior positivo: tenía direcciones positivas y negativas, una estructura indefinida. Contada primero como obstáculo, se volvió un activo unas 12 horas después: otro agente, E2, invirtió el argumento y, en vez de usar la parte negativa para contar los ceros fuera de la recta, fijó los ceros de la recta con la parte positiva. De ahí nació la afirmación de que al menos la mitad de los ceros son distintos y están en la recta crítica. Claude siguió escéptico y envió agentes revisores independientes, deliberadamente ciegos entre sí; atacaron la localización, el lado de los primos y el álgebra lineal, hallaron de verdad una brecha matricial y, sobre todo, la repararon. El umbral del 50 % se sostuvo.

Lo que siguió es una historia de ajuste fino y obstinación. Refinar la ventana matemática solo llevó la cota del 50 % a cerca del 50,66 %, y un intento por momentos superiores chocó con un techo teórico. La esperanza restante descansaba en un factor llamado pares E2; el agente escribió la prueba en disco y luego colapsó por una falla de infraestructura, así que el coordinador inspeccionó la prueba abandonada línea por línea, relanzó el agente y envió el resultado a dos agentes rompedores a la vez. Balance: al menos dos tercios de los ceros son distintos y están en la recta crítica, pulidos al final hasta el 67,25 %. El artículo Alpöge-Furman en arXiv formaliza el resultado: al menos dos tercios en conteo ponderado, al menos cinco sextos de los ceros distintos, con constantes de 0,6725 y 0,8362 bajo la ventana de Montgomery-Taylor. Vuelve incondicional la deducción de Montgomery de 1973 al combinar una imagen matricial de dimensión finita de la forma hermitiana de Weil con la ley de inercia de Sylvester , sin molificador, sin estimación de densidad de ceros ni región libre de ceros.

Verificación, y por qué no es una prueba

Para asegurar el resultado, Claude hizo releer las pruebas por subagentes, cazar contraejemplos, re-derivar el resultado independientemente desde cero, y descargar 54 artículos de arXiv para verificar que no era ya conocido. Luego propuso él mismo redactar el resultado como artículo y exigió que el lector siguiente fuera humano, imponiendo la validación por un teórico de números. Los propios matemáticos de Anthropic, Levent Alpöge y Ralph Furman, examinaron y verificaron el trabajo, mientras Brian Conrey y Dan Goldston revisaron el artículo con poco preaviso. En paralelo, se produjo una prueba formal en Lean con Eric Easley; Lean es un asistente de pruebas donde un ordenador verifica cada paso lógico, y el resultado pasó el validador estándar. La cadena muestra la seriedad mínima que una afirmación matemática salida de una máquina exige antes de ser tomada en serio.

Y el punto más crítico: el resultado no cuenta como prueba de la hipótesis en ningún sentido; según las propias palabras del coordinador, la proporción en la recta no aporta ninguna prueba sobre la verdad de la hipótesis en una dirección ni en otra. Ni siquiera alcanzar el 100 % cambiaría nada, y Anthropic enuncia abiertamente ese límite técnico. Sleightholm construye la intuición con los cuadrados perfectos: entre los n primeros enteros, unos n − √n no son cuadrados, una proporción de 1 − 1/√n que tiende a uno, de modo que incluso casi el 100 % de no-cuadrados deja aún infinitos cuadrados. Los ceros fuera de la recta podrían igualmente ser bastante ralos para fundirse en el total y aun así seguir siendo infinitos. Así que el 67,25 % es una cota inferior impresionante, no una conclusión.

Sleightholm pasa de ahí a cinco lecciones. Primero el ritmo: hace unos años, hacíamos preguntas aisladas a un robot conversacional; hoy, un equipo de sesenta agentes habla, divide el trabajo y opera independientemente, como un grupo de investigación en la universidad. Segundo las barandillas: imaginar un actor malicioso con acceso a un equipo de agentes de esta talla da escalofríos; ella saluda que Anthropic publique investigaciones sobre usos indebidos y reclama presión sobre las empresas. Tercero, los problemas del milenio convertidos en raseros de la IA: los sistemas producen cientos de páginas de pruebas mientras la comunidad matemática carece de capacidad de evaluación para digerirlas; la retirada por OpenAI de los créditos ofrecidos para un maratón de matemáticas tras las reacciones muestra que ambas comunidades deben trabajar juntas. Cuarto la transparencia: Anthropic abrió los registros y dijo lo intentamos, fracasamos, he aquí lo que hallamos, mientras que el anuncio Navier-Stokes de OpenAI omitía al principio a los dos matemáticos cuyos cimientos lo habían hecho posible. Quinto la pregunta de Tao: las matemáticas nunca fueron solo producción de pruebas; las ideas nuevas, la comprensión de las razones, la explicación, la conexión de campos y la transmisión contarán aún más en la era de la abundancia de pruebas.

Cierra con su voz de doctoranda: viendo cambiar todo su campo, se siente a la vez entusiasmada y asustada, e invita a los espectadores a debatir juntos ese futuro. El video se abre con una broma sobre la crisis de las matemáticas y se cierra con un llamado a la comunidad; los 35 minutos intermedios condensan un minicurso completo, de los primos a la función zeta y del producto euleriano a la recta crítica, coronado con los bastidores de la orquestación de agentes. Los espectadores se van sabiendo a la vez lo que dice la hipótesis y lo que un modelo de lenguaje con un equipo invisible de sesenta puede hacer en un día y medio.