Claude fait passer les zéros zêta sur la droite critique de 41,6 % à 67,25 %

Les mathématiques semblent au bord d'une crise, et le responsable est étonnamment un résultat obtenu par un modèle d'intelligence artificielle sur un problème lié à l'hypothèse de Riemann. La version de recherche inédite de Claude, chez Anthropic, a relevé la borne inférieure décennale sur la proportion de zéros de la fonction zêta situés sur la droite critique, de 41,6 % à 67,25 %. Ellie Sleightholm, doctorante en mathématiques à Cambridge, traite cette avancée dans le premier épisode de sa nouvelle série sur les mathématiques à l'ère de l'IA, car presque tout ce qui circule en ligne sur l'hypothèse prouvée ou l'hypothèse réfutée est faux.

Tout commence par les atomes des nombres : les nombres premiers , entiers supérieurs à 1 divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Chaque entier se factorise en premiers de façon unique, comme 60 = 2 × 2 × 3 × 5. La fonction de comptage π(x) dit combien de premiers se trouvent sous x ; π(10) vaut quatre, car les premiers sous 10 sont 2, 3, 5 et 7. Son graphe monte en escalier : des paliers sans nouveau premier, des sauts à chaque premier. Gauss et Legendre ont conjecturé à la fin du XVIIIe siècle que cet escalier épouse x divisé par log x, et le théorème des nombres premiers a été prouvé en 1896 par Hadamard et de la Vallée Poussin. Nous connaissons la moyenne ; ce que nous ignorons, c'est l'ampleur possible des écarts autour d'elle.

Des premiers à la fonction zêta

Dans les années 1730, Euler a trouvé que la somme des inverses des carrés, 1 + 1/4 + 1/9 + ..., converge vers π²/6 ; c'est le problème de Bâle. Remplacer 2 par s donne 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ..., la fonction zêta de Riemann , et poser s = 2 redonne la somme de Bâle. La formule des séries géométriques devient, avec R = p⁻ˢ, un facteur par premier, et le produit infini d'Euler sur tous les premiers donne le produit eulérien de la fonction zêta. Son développement fait apparaître l'inverse de chaque entier exactement une fois, grâce au théorème fondamental de l'arithmétique, comme 12 qui surgit sous la forme 1/(2²×3). La fonction qui décrit la répartition des premiers est ainsi liée aux premiers eux-mêmes par multiplication.

En 1859, Riemann publie un mémoire de quelques pages, sur le nombre de premiers inférieurs à une taille donnée, avec une question géniale : que se passe-t-il si la définition d'Euler est étendue aux nombres complexes ? Écrire s = σ + it laisse s parcourir tout le plan complexe, comme brancher 3 + i au lieu de 3. Quand la partie réelle dépasse 1, la série converge proprement et produit des transformations fascinantes. Représenter l'autre moitié du plan utilise le prolongement analytique , l'unique extension permise par l'analyse complexe. La même extension explique pourquoi 1 + 2 + 3 + ... est associé à −1/12. Sous cette forme, la fonction zêta contraint directement la croissance du comptage des premiers, c'est-à-dire la fidélité des premiers à la courbe x/log x.

Les entrées qui annulent la fonction zêta, les nombres complexes avec ζ(s) = 0, sont le cœur du récit. Les zéros triviaux en −2, −4, −6 et autres entiers pairs négatifs viennent d'un facteur sinus dans la formule et n'excitent personne. Ce qui compte, ce sont les zéros non triviaux ; Riemann a montré qu'ils vivent dans la bande critique où la partie réelle de s est comprise entre 0 et 1. L'hypothèse affirme qu'ils se trouvent tous sur la droite critique de partie réelle exactement 1/2. C'est le problème de la liste ClayMath (le Clay Mathematics Institute) du millénaire, primé d'un million de dollars : le théorème des nombres premiers gouverne la moyenne, l'hypothèse gouverne l'écart à la moyenne. Le premier zéro non trivial se situe près de 1/2 + 14,134725i, et un seul contre-exemple, un zéro hors de la droite, détruirait l'hypothèse.

De 1859 à 2026 : une histoire de proportions

L'idée de proportion a grandi pas à pas depuis un siècle. En 1914, Hardy a prouvé qu'une infinité de zéros se trouvent sur la droite critique, résultat beau en intuition mais sans rapprocher de l'hypothèse, car une infinité pourrait rester dehors. En 1942, le médaillé Fields Selberg a montré qu'une proportion positive des zéros est sur la droite, verrouillant un pourcentage fixe. Selon la chronologie de l'oratrice, Levinson l'a portée à 34,7 % en 1974, Conrey à 40,9 % en 1989, et 41,7 % a été observé en 2022. Comme le rappelle la synthèse de Conrey dans les Notices de l'AMS, Hilbert avait placé le problème parmi ses 23 problèmes dans son discours de Paris en 1900 ; la curiosité de ce jour est devenue l'industrie d'aujourd'hui. Sur la voie évaluée, Bui, Conrey et Young ont franchi la barre des 41 % en 2011, et le record officiel hérité par Anthropic était de 41,6 %.

Anthropic a annoncé le résultat le 10 août 2026 par un message sur X et un essai explicatif ; comme l'a rapporté TechSpot, l'expérience tournait sur une version de recherche inédite. La première phrase du message compte le plus : Jarred Sumner, membre non mathématicien de l'équipe, avait demandé à Claude de s'attaquer vraiment à l'hypothèse elle-même, le modèle a essayé et échoué, mais a progressé de façon inattendue sur le problème voisin. C'est le nœud de la confusion en ligne : pendant que l'entreprise disait ne pas l'avoir résolue mais avoir avancé la question voisine, les publications multipliaient les c'est prouvé, elle est tombée, elle tombera l'an prochain. Affronter ce déluge de désinformation est le motif principal de la vidéo de Sleightholm.

Soixante agents, un jour et demi

L'échelle de l'orchestration est stupéfiante. Au premier tour, Claude a produit et essayé 650 idées, sans succès, un tableau que tout mathématicien reconnaît. Au second tour, Sumner a relancé le modèle, et Claude a coordonné une soixantaine de sous-agents pendant un jour et demi. Selon la note d'Anthropic, deux de ces agents ont développé les idées mathématiques centrales, 13 ont alimenté ces deux-là, 30 ont essayé des idées nouvelles sans succès, 13 ont servi de rapporteurs vérificateurs, et les deux derniers ont rédigé la première ébauche. Ensemble, ils ont exécuté 2 400 commandes shell, écrit des centaines de scripts Python et dépensé 31 millions de jetons de sortie, avec des milliers de tests numériques contre les zéros connus. La contribution de Sumner tenait surtout à des encouragements, des variantes de continue et crois en toi, qui semblent avoir aidé à briser le scepticisme initial du modèle.

Le tournant est né d'un échec. Claude avait rangé le problème en une échelle à six barreaux et, sur le barreau supérieur, tenté de construire l'objet mathématique qui forcerait l'hypothèse à être vraie ; échec. Mais un agent nommé R4 a remarqué que la structure étudiée ne se comportait pas comme un espace ordinaire à produit scalaire positif : elle avait des directions positives et négatives, une structure indéfinie. D'abord comptée comme obstacle, elle est devenue un atout environ 12 heures plus tard : un autre agent, E2, a renversé l'argument et, au lieu d'utiliser la partie négative pour compter les zéros hors droite, a fixé les zéros sur la droite avec la partie positive. De là est née l'affirmation qu'au moins la moitié des zéros sont distincts et sur la droite critique. Claude est resté sceptique et a envoyé des agents rapporteurs indépendants, volontairement aveugles les uns aux autres ; ils ont attaqué la localisation, le côté premiers et l'algèbre linéaire, vraiment trouvé une faille matricielle, et surtout l'ont réparée. Le seuil de 50 % a tenu.

La suite est une histoire de réglage fin et d'obstination. Affiner la fenêtre mathématique n'a porté la borne que de 50 % à environ 50,66 %, et une tentative par moments supérieurs a heurté un plafond théorique. L'espoir restant reposait sur un facteur nommé paires E2 ; l'agent a écrit la preuve sur disque puis planté sur une panne d'infrastructure, si bien que le coordinateur a inspecté la preuve abandonnée ligne par ligne, relancé l'agent et envoyé le résultat à deux agents casseurs à la fois. Bilan : au moins deux tiers des zéros sont distincts et sur la droite critique, polis à la fin jusqu'à 67,25 %. L'article Alpöge-Furman sur arXiv formalise le résultat : au moins deux tiers en comptage pondéré, au moins cinq sixièmes des zéros distincts, avec des constantes de 0,6725 et 0,8362 sous la fenêtre de Montgomery-Taylor. Il rend inconditionnelle la déduction de Montgomery de 1973 en combinant une image matricielle de dimension finie de la forme hermitienne de Weil avec la loi d'inertie de Sylvester , sans mollifieur, sans estimation de densité de zéros ni région sans zéros.

Vérification, et pourquoi ce n'est pas une preuve

Pour sécuriser le résultat, Claude a fait relire les preuves par des sous-agents, chasser les contre-exemples, re-dériver le résultat indépendamment depuis zéro, et télécharger 54 articles d'arXiv pour vérifier qu'il n'était pas déjà connu. Il a ensuite proposé lui-même de rédiger le résultat en article et exigé que le lecteur suivant soit humain, imposant la validation par un théoricien des nombres. Les propres mathématiciens d'Anthropic, Levent Alpöge et Ralph Furman, ont examiné et vérifié le travail, tandis que Brian Conrey et Dan Goldston ont relu l'article sur court préavis. En parallèle, une preuve formelle a été produite en Lean avec Eric Easley ; Lean est un assistant de preuve où un ordinateur vérifie chaque pas logique, et le résultat a passé le validateur standard. La chaîne montre le sérieux minimal qu'une affirmation mathématique issue d'une machine exige avant d'être prise au sérieux.

Et le point le plus critique : le résultat ne compte comme preuve de l'hypothèse dans aucun sens ; selon les propres mots du coordinateur, la proportion sur la droite n'apporte aucune preuve sur la vérité de l'hypothèse dans un sens ou dans l'autre. Même atteindre 100 % ne changerait rien, et Anthropic énonce ouvertement cette limite technique. Sleightholm construit l'intuition avec les carrés parfaits : parmi les n premiers entiers, environ n − √n ne sont pas des carrés, une proportion de 1 − 1/√n qui tend vers un, si bien que même presque 100 % de non-carrés laisse encore une infinité de carrés. Des zéros hors droite pourraient de même être assez clairsemés pour fondre dans le total tout en restant infinis. Donc 67,25 % est une borne inférieure impressionnante, pas une conclusion.

Sleightholm passe de là à cinq leçons. D'abord le rythme : il y a quelques années, nous posions des questions isolées à un robot conversationnel ; aujourd'hui, une équipe de soixante agents parle, divise le travail et opère indépendamment, comme un groupe de recherche à l'université. Ensuite les garde-fous : imaginer un acteur malveillant avec accès à une équipe d'agents de cette taille donne froid dans le dos ; elle salue la publication par Anthropic de recherches sur les détournements et réclame de la pression sur les entreprises. Troisièmement, les problèmes du millénaire devenus étalons de l'IA : les systèmes produisent des centaines de pages de preuves pendant que la communauté mathématique manque de capacité d'évaluation pour les digérer ; le retrait par OpenAI des crédits offerts pour un marathon de mathématiques après les réactions montre que les deux communautés doivent travailler ensemble. Quatrièmement la transparence : Anthropic a ouvert les journaux et dit nous avons essayé, nous avons échoué, voici ce que nous avons trouvé, alors que l'annonce Navier-Stokes d'OpenAI omettait d'abord les deux mathématiciens dont les fondations l'avaient rendue possible. Cinquièmement la question de Tao : les mathématiques n'ont jamais été seulement production de preuves ; idées neuves, compréhension des raisons, explication, connexion des domaines et transmission compteront encore plus à l'ère de l'abondance des preuves.

Elle conclut avec sa voix de doctorante : voyant tout son domaine changer, elle se sent à la fois excitée et effrayée, et invite les spectateurs à débattre ensemble de cet avenir. La vidéo s'ouvre sur une blague de crise des mathématiques et se termine sur un appel à la communauté ; les 35 minutes entre les deux condensent un mini-cours complet, des premiers à la fonction zêta et du produit eulérien à la droite critique, couronné des coulisses de l'orchestration d'agents. Les spectateurs repartent en sachant à la fois ce que dit l'hypothèse et ce qu'un modèle de langage avec une équipe invisible de soixante peut faire en un jour et demi.