On attendait 2045, c'est arrivé en 2026 : deux mathématiciennes et mathématiciens face au choc de l'IA en mathématiques

Dans un entretien sur Numero Un, Sylvia Serfaty (Sorbonne et Courant) et Amaury Hayat (École des Ponts) décrivent un seuil qui n'a cessé de reculer : en 2019, la frontière était imaginée pour 2045, en 2025 elle a été ramenée à 2030, et en septembre 2026 trois résultats mathématiques majeurs sont tombés en quelques semaines. Les deux chercheurs paraissent sincèrement bouleversés ; l'un se souvient avoir souri devant la prévision audacieuse d'un collègue fixée à 2026, un an plus tôt, et vit aujourd'hui au cœur même de cette date. La conversation importe non pas comme un point technique mais comme une archive d'état d'esprit, c'est pourquoi son récit d'environ 3260 mots porte bien plus qu'une simple actualité.

Contexte : pourquoi les réseaux de neurones sont devenus un levier pour les mathématiques

Les systèmes d'aujourd'hui reposent sur de grands modèles de langage (LLM) combinant deux couches : un socle de réseau de neurones et des modules de raisonnement symbolique. Ils se comportent comme s'ils avaient ingéré tout le corpus mathématique humain, transformant une seule machine en l'équivalent de dix mille mathématiciens travaillant en parallèle et balayant l'espace des possibilités. Cet effet de levier ressemble à un étudiant qui lirait une bibliothèque entière en une nuit et passerait l'examen à l'aube — la différence, c'est que l'étudiant ne se contente pas de mémoriser mais généralise des motifs et propose de nouvelles voies. Les intervenants soulignent que le vrai basculement, c'est que la force brute s'accompagne désormais d'idées originales. Les capacités générales issues de la traduction et du code rencontrent des chaînes de logique formelle, et la machine devient un partenaire de stratégie, pas une simple calculatrice.

En mathématiques, une conjecture est simplement un énoncé que l'on croit vrai sans preuve, et la seule façon de la réfuter est d'exhiber un contre-exemple : un cas concret où A tient et B échoue. Ce travail est célèbrement comparable à la chasse à l'aiguille dans une botte de foin ; l'aiguille est là mais difficile à atteindre. C'est précisément là que la force brute excelle : des copies à l'échelle d'un modèle de langage performant peuvent chacune sonder un coin différent de l'espace à une vitesse surhumaine. Serfaty et Hayat rapportent que, dans l'histoire de la distance unité, des experts ont dit pour la première fois que la machine avait apporté une idée véritablement nouvelle, et non un balayage exhaustif. L'idée reliait la géométrie aux corps de nombres, un pont que les humains n'avaient pas franchi.

La chasse aux contre-exemples et la surprise de la distance unité

Combien de paires parmi n points du plan peuvent être à exactement la distance unité ? Paul Erdos l'a posé en 1946 et c'est devenu l'un des problèmes les plus connus de la géométrie combinatoire. Pendant des décennies, la grille carrée a été considérée comme essentiellement optimale, avec une croissance crue de l'ordre de n^{1+o(1)}, quasi linéaire, et la meilleure borne supérieure restait bloquée à O(n^{4/3}) via Spencer–Szemeredi–Trotter. En mai 2026, un modèle interne d'OpenAI a brisé cette croyance avec une famille infinie atteignant n^{1+epsilon}, une amélioration polynomiale. L'argument déplace une question géométrique simple vers la théorie algébrique des nombres, d'où la surprise. Tim Gowers l'a qualifié de jalon de l'IA en mathématiques, Noga Alon s'est souvenu avoir entendu Erdos lui-même évoquer maintes fois ce problème favori, et Arul Shankar a estimé que le modèle était allé au-delà du rôle d'assistant pour devenir l'initiateur. Des mathématiciens externes ont digéré la preuve et l'ont jugée digne des meilleures revues.

Comment cela a-t-il été construit ? On part d'un grand ensemble U de nombres algébriques de module 1 et de dénominateur borné D dans un corps de nombres K, puis on place les différences x-y issues d'une fenêtre bornée W de D^{-1} fois les entiers de K. Le principe des tiroirs rend U grand, et le choix de K comme étage d'une tour de corps de classes de type Golod–Shafarevich (nombre de classes contrôlé, discriminant racine borné) permet au degré de croître tandis que le discriminant reste borné. Imaginez un immeuble infini où l'on ajoute des étages sans agrandir l'emprise au sol — la tour maintient le discriminant racine plat tandis que le nombre de points gonfle. Une fois le contre-exemple de trois lignes écrit, n'importe qui peut le vérifier ; la partie difficile était de trouver ces trois lignes. Cette facilité de vérification préfigure un nouvel ordre de vérification : les preuves sont désormais partagées comme des objets qui compilent dans Lean, un langage fonctionnel, réduisant drastiquement le risque d'erreur formelle.

Le mur jacobien : de 1939 à 2026

La conjecture jacobienne (Keller, 1939) demande si toute application polynomiale de C^n dans C^n dont le jacobien est une constante non nulle doit admettre un inverse polynomial. Le 19 juillet 2026, L. Alpöge a répondu non en dimension trois avec une application explicite de jacobien det J = -2 identifiant trois points distincts. Un jour plus tard, Gallagher a fourni une famille infinie pour tout degré d >= 3, et le 23 juillet Speyer a nommé le moteur : le balayage tangent. On balaie les tangentes d'une courbe plane — une construction inévitablement plusieurs-à-un par dualité projective — puis on conjugue par des applications monomiales pour que le facteur jacobien s'annule. Le prix à payer est de pousser la ramification à l'infini : l'application de Keller obtenue est partout non ramifiée mais non propre, si bien que l'injectivité échoue à l'infini. Shuhong Gao et ses coauteurs ont généralisé cela à tout n > 2 et à degré géométrique arbitrairement grand, vérifié par un contrôle indépendant dans Lean 4 (21514514). Un mur de 87 ans est tombé non pas d'un seul coup de brique mais selon un schéma.

Le cœur du millénaire : la singularité dans Navier–Stokes

Les équations de Navier–Stokes, nées au XIXe siècle avec Navier et Stokes comme un continuum F=ma pour les fluides, modélisent tout, de la portance d'un avion à la circulation sanguine. En 1934, Jean Leray a montré l'existence de solutions généralisées, mais la question de leur régularité est restée ouverte ; en 2000, l'Institut Clay l'a inscrite parmi les sept problèmes du prix du Millénaire. La question : un écoulement incompressible tridimensionnel lisse peut-il développer en temps fini une singularité où la vitesse explose, malgré l'effet lissant de la viscosité ? La simulation numérique seule ne peut trancher, car la résolution d'un ordinateur ne peut distinguer de manière fiable le très grand de l'infini. La communauté a poursuivi la régularité pendant des décennies en bâtissant une belle théorie, et ces dix dernières années l'élan s'est déplacé vers la recherche d'explosion. Ce basculement signifiait chasser des profils spécifiques susceptibles d'exploser, une quête classique d'aiguille dans une botte de foin.

Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé que son système avait résolu le problème d'existence et de régularité pour les énoncés C et D : un fluide lisse au repos, soumis à une force appliquée lisse et d'énergie finie en tout temps, peut développer une singularité en temps fini. La solution est un vortex en forme de spaghetti : un cœur tourbillonnant s'enroule vers l'intérieur et s'étire axialement, se contractant tout en accélérant d'une manière qui maintient l'énergie finie. L'équilibre subtil tient à ce que l'accélération, le gradient de pression, le transfert de quantité de mouvement et la viscosité croissent tous, mais s'annulent pour laisser une force extérieure lisse tandis que la vitesse diverge. OpenAI a indiqué qu'un nouveau modèle interne, nettement plus puissant que GPT-6 Astra et en entraînement depuis le 28 août, a piloté environ 10 000 agents concurrents qui, en 88 heures, ont échangé près de 3 millions de messages et 130 milliards de tokens de sortie pour un coût estimé à environ dix millions de dollars. Une rédaction analytique et une formalisation Lean ont été publiées ; l'entreprise a dit ne pas viser le prix, seulement rendre compte du rythme de ses modèles. Sur la scène la plus visible des mathématiques, le rythme de l'IA a été proclamé.

Course, accusation de fuite et nouvel ordre de vérification

Ce triomphe s'est accompagné d'une dispute de course et de fuite. Tristan Buckmaster (NYU) et Levent Alpöge, ce dernier employé par le rival Anthropic, sondaient des équations modèles proches pour l'explosion tout en utilisant Claude et ChatGPT ; leurs sessions contenaient des brouillons et des intuitions. Buckmaster affirme que le 3 septembre il a appris que la nouvelle de leurs progrès était parvenue à OpenAI, et note qu'OpenAI dit avoir entendu des rumeurs le 1er septembre selon lesquelles deux problèmes du Millénaire avaient été résolus, puis avoir évalué son modèle sur tous les problèmes ouverts du Millénaire. La BBC a rapporté l'ampleur de 130 milliards de tokens et de deux millions de messages autour de cet effort. OpenAI a répondu n'avoir vu aucun de leurs travaux par quelque moyen que ce soit avant la publication publique, et qu'aucune donnée utilisateur n'a été consultée, tout en reconnaissant que des données dé-identifiées issues de l'usage de ses produits auraient pu en principe aider à améliorer ses modèles, et que ses preuves sont significativement différentes, jusqu'aux énoncés précis. Les deux parties ont partagé des extraits d'e-mails, entraînant une discipline qui ne se demandait auparavant que « est-ce correct » dans l'ombre d'une rivalité de produits.

La réaction de la communauté a été un choc mesuré. Le Monde écrivait le 18 septembre que l'IA avait déclenché une crise sans précédent chez les mathématiciens ; 25 médaillés Fields ont signé une lettre ouverte mettant en garde contre un effet destructeur, et Cédric Villani sur Radio Classique a alerté sur un assèchement. Terence Tao propose depuis longtemps une voix d'intégration plus nuancée. Les deux interviewés rétablissent aussi le crédit humain : sans les pistes Cordoba–Martinez et Tom Hou et surtout la stratégie d'équivalence construite par Gad Kosma et ses collaborateurs, la dernière étape jacobienne ne serait pas tombée ; sans la poussée Buckmaster–Alpöge sur les équations modèles, l'idée du vortex n'aurait pas mûri. Ce n'était pas un miracle sorti de nulle part mais un chemin humain qui s'approchait de l'explosion depuis une décennie, désormais accéléré par une machine qui a comblé l'écart final. L'autre rupture est la vérification : du dépôt arXiv de Perelman sans soumission en revue à la compilation automatique dans Lean. Une preuve peut désormais être annoncée même sous forme d'un PDF de 300 pages sur Twitter, tout en étant vérifiée rapidement parce qu'elle compile comme un logiciel. Les deux jugements des mathématiques — originalité et correction — courent désormais à des vitesses différentes, et cela redéfinit le vieux rêve de l'étudiant de première année qui murmurait un jour « un jour je résoudrai peut-être Navier–Stokes ».