Esperábamos 2045, llegó en 2026: dos matemáticos ante el impacto de la IA en las matemáticas

En una entrevista de Numero Un, Sylvia Serfaty (Sorbona y Courant) y Amaury Hayat (École des Ponts) describen un umbral que no dejaba de esfumarse: en 2019 la frontera se imaginaba para 2045, en 2025 se adelantó a 2030, y en septiembre de 2026 tres resultados matemáticos mayores aterrizaron en cuestión de semanas. Ambos investigadores parecen genuinamente conmocionados; uno recuerda sonreír ante la audaz predicción de un colega para 2026 un año antes, y hoy vive dentro de esa misma fecha. La conversación importa no como informe técnico sino como registro de un estado de ánimo, por eso su relato de unas 3260 palabras carga con más que una simple noticia.

Antecedentes: por qué las redes neuronales se convirtieron en palanca para las matemáticas

Los sistemas actuales se construyen sobre grandes modelos de lenguaje (LLM) que combinan dos capas: un núcleo de red neuronal y complementos de razonamiento simbólico. Se comportan como si hubieran ingerido todo el corpus matemático humano, convirtiendo una sola máquina en el equivalente a diez mil matemáticos trabajando en paralelo y explorando el espacio de posibilidades. Este efecto de palanca es como un estudiante que lee una biblioteca entera en una noche y se presenta al examen al alba — la diferencia es que el estudiante no solo memoriza sino que generaliza patrones y propone nuevos caminos. Los entrevistados subrayan que el verdadero cambio es que la fuerza bruta ahora viene acompañada de ideas originales. Las capacidades generales de traducción y programación se encuentran con cadenas de lógica formal, y la máquina se convierte en un socio estratégico, no solo en una calculadora.

En matemáticas, una conjetura es simplemente una afirmación que se cree verdadera sin prueba, y la única manera de refutarla es exhibir un contraejemplo: un caso concreto donde A se cumple y B falla. Ese trabajo es famosa comparación con buscar una aguja en un pajar; la aguja está ahí pero es difícil de dar con ella. Precisamente ahí brilla la fuerza bruta: copias a escala de un modelo de lenguaje capaz pueden sondear cada una una esquina distinta del espacio a velocidad sobrehumana. Serfaty y Hayat informan de que, en la historia de la distancia unidad, expertos dijeron por primera vez que la máquina aportó una idea genuinamente nueva, no un barrido exhaustivo. La idea vinculaba la geometría con los cuerpos de números, un puente que los humanos no habían cruzado.

La caza de contraejemplos y la sorpresa de la distancia unidad

¿Cuántos pares entre n puntos del plano pueden estar exactamente a distancia unidad? Paul Erdos lo planteó en 1946 y se convirtió en uno de los problemas más conocidos de la geometría combinatoria. Durante décadas se creyó que la cuadrícula cuadrada era esencialmente óptima, con un crecimiento estimado en n^{1+o(1)}, casi lineal, y la mejor cota superior quedó estancada en O(n^{4/3}) vía Spencer–Szemeredi–Trotter. En mayo de 2026, un modelo interno de OpenAI rompió esa creencia con una familia infinita que alcanza n^{1+epsilon}, una mejora polinómica. El argumento traslada una pregunta geométrica sencilla a la teoría algebraica de números, de ahí la sorpresa. Tim Gowers lo calificó de hito de la IA en matemáticas, Noga Alon recordó haber oído al propio Erdos mencionar muchas veces su problema favorito, y Arul Shankar sostuvo que el modelo fue más allá de asistente para convertirse en originador. Matemáticos externos digirieron la demostración y la consideraron digna de las mejores revistas.

¿Cómo se construyó? Se parte de un gran conjunto U de números algebraicos de módulo 1 y denominador acotado D en un cuerpo de números K, y se colocan las diferencias x-y de una ventana acotada W de D^{-1} veces los enteros de K. El principio del palomar hace grande a U, y elegir K como un nivel de una torre de cuerpos de clases tipo Golod–Shafarevich (número de clases controlado, discriminante raíz acotado) permite que el grado crezca mientras el discriminante permanece acotado. Piensa en un bloque de apartamentos infinito donde añades plantas sin ampliar la huella — la torre mantiene plano el discriminante raíz mientras el número de puntos se hincha. Una vez escrito el contraejemplo de tres líneas, cualquiera puede verificarlo; lo difícil fue encontrar esas tres líneas. Esa facilidad de comprobación anticipa un nuevo orden de verificación: las demostraciones ahora se comparten como objetos que compilan en Lean, un lenguaje funcional, reduciendo drásticamente el riesgo de error formal.

El muro jacobiano: de 1939 a 2026

La conjetura jacobiana (Keller, 1939) pregunta si toda aplicación polinómica de C^n en C^n cuyo jacobiano es una constante no nula debe tener un inverso polinómico. El 19 de julio de 2026, L. Alpöge respondió que no en dimensión tres con una aplicación explícita con det J = -2 que identifica tres puntos distintos. Un día después, Gallagher aportó una familia infinita para todo grado d >= 3, y el 23 de julio Speyer nombró el motor: barrido tangente. Se barren las tangentes de una curva plana — una construcción inevitablemente de muchos a uno por dualidad proyectiva — y luego se conjugan con aplicaciones monomiales para que el factor jacobiano se cancele. El coste es llevar la ramificación al infinito: la aplicación de Keller resultante es en todas partes no ramificada pero no propia, de modo que la inyectividad falla en el infinito. Shuhong Gao y coautores generalizaron esto a todo n > 2 y grado geométrico arbitrariamente grande, verificado por una comprobación independiente en Lean 4 (21514514). Un muro de 87 años cayó no con un solo ladrillo sino con un patrón.

El corazón del milenio: la singularidad en Navier–Stokes

Las ecuaciones de Navier–Stokes, nacidas en el siglo XIX con Navier y Stokes como un continuo F=ma para fluidos, modelan todo, desde la sustentación de un avión hasta el flujo sanguíneo. En 1934 Jean Leray mostró que existen soluciones generalizadas, pero si permanecían suaves quedó abierto; en 2000 el Instituto Clay lo incluyó entre los siete Problemas del Premio del Milenio. La pregunta: ¿puede un flujo incompresible tridimensional suave desarrollar una singularidad en tiempo finito donde la velocidad explote, pese al suavizado de la viscosidad? La simulación numérica por sí sola no puede decidirlo, porque la resolución de un ordenador no distingue de forma fiable lo muy grande de lo infinito. La comunidad persiguió la regularidad durante décadas construyendo una hermosa teoría, y en los últimos diez años el impulso se desplazó hacia la búsqueda de la explosión. Ese giro significaba cazar perfiles específicos que pudieran explotar, una clásica búsqueda de aguja en un pajar.

El 8 de septiembre de 2026, OpenAI anunció que su sistema había resuelto el problema de existencia y suavidad para los enunciados C y D: un fluido suave en reposo, con una fuerza aplicada suave y energía finita en todo momento, puede desarrollar una singularidad en tiempo finito. La solución es un vórtice en forma de espagueti: un núcleo arremolinado gira hacia el interior y se estira axialmente, encogiéndose mientras acelera de un modo que mantiene la energía finita. El equilibrio sutil es que la aceleración, el gradiente de presión, la transferencia de momento y la viscosidad crecen todos pero se cancelan dejando una fuerza externa suave mientras la velocidad diverge. OpenAI dijo que un nuevo modelo interno, significativamente más fuerte que GPT-6 Astra y en entrenamiento desde el 28 de agosto, impulsó unos 10 000 agentes concurrentes que en 88 horas intercambiaron cerca de 3 millones de mensajes y 130 mil millones de tokens de salida a un coste estimado de unos diez millones de dólares. Se publicaron tanto una redacción analítica como una formalización en Lean; la empresa dijo que no buscaba el premio, solo informar del ritmo de sus modelos. En el escenario más visible de las matemáticas se proclamó el ritmo de la IA.

Carrera, denuncia de fuga y un nuevo orden de verificación

Ese triunfo vino acompañado de una disputa de carrera y fuga. Tristan Buckmaster (NYU) y Levent Alpöge, este último empleado del rival Anthropic, habían estado sondeando ecuaciones modelo cercanas para la explosión mientras usaban Claude y ChatGPT; sus sesiones contenían borradores e intuiciones. Buckmaster dice que el 3 de septiembre supo que la noticia de su progreso había llegado a OpenAI, y señala que OpenAI afirma haber oído rumores el 1 de septiembre de que dos problemas del Milenio habían sido resueltos y luego evaluó su modelo sobre todos los problemas abiertos del Milenio. La BBC informó de la escala de 130 mil millones de tokens y dos millones de mensajes en torno al esfuerzo. OpenAI respondió que no había visto ninguno de sus trabajos por ningún medio hasta la publicación pública, y que no se accedió a datos de usuarios, aunque reconoció que datos desidentificados derivados del uso del producto podrían en principio haber ayudado a mejorar sus modelos, y que sus demostraciones son significativamente diferentes, incluso los enunciados precisos. Ambas partes compartieron extractos de correos electrónicos, arrastrando a un campo que antes solo preguntaba «¿es correcto?» a la sombra de una rivalidad de productos.

La respuesta de la comunidad fue un choque mesurado. Le Monde escribió el 18 de septiembre que la IA había desencadenado una crisis sin precedentes entre los matemáticos; 25 medallistas Fields firmaron una carta abierta advirtiendo de un efecto destructivo, y Cédric Villani en Radio Classique advirtió de un agotamiento (assèchement). Terence Tao lleva tiempo ofreciendo una voz de integración más matizada. Los dos entrevistados también restituyen el mérito humano: sin las líneas de Cordoba–Martinez y Tom Hou y sobre todo la estrategia de equivalencia construida por Gad Kosma y colaboradores, el último paso jacobiano no habría aterrizado; sin el empuje de Buckmaster–Alpöge sobre las ecuaciones modelo, la idea del vórtice no habría madurado. No fue un milagro surgido de la nada sino un camino humano que llevaba una década acercándose a la explosión, ahora acelerado por una máquina que cerró la brecha final. La otra ruptura es la verificación: del depósito en arXiv de Perelman sin envío a revista a la compilación automática en Lean. Una demostración puede anunciarse incluso como un PDF de 300 páginas en Twitter, y aun así verificarse rápidamente porque compila como software. Los dos juicios de las matemáticas — originalidad y corrección — ahora corren a velocidades distintas, y eso redefine el viejo sueño del estudiante de primer curso que alguna vez susurró «algún día quizá resuelva Navier–Stokes».