9 bölü 4 şoku: matris çarpımında 50 yıllık merdiven kısaldı

Matris çarpımının gizli sabitine dair yarım asırdır süren kavgayı tek bir sayıyla altüst eden bir iddia ile açıldım: karmaşık sayılar üzerinde omega üssü en fazla 9 bölü 4, yani 2,25 olabilir. İlk bakışta masum görünen bu ondalık, alanın ölçeğinde devasa bir sıçramadır. Önceki en iyi sınır 2,371177 civarındaydı ve oraya varmak için araştırmacılar on yılı aşkın süre boyunca beşinci ondalık basamak için didişti. Şimdi bir anda 0,12'lik bir düşüş konuşuluyor. Bu yazıda videoda anlatılan ispatın ne söylediğini, neden önemli olduğunu ve nerede temkinli durmamız gerektiğini adım adım açıyorum.

Önce zemini kuralım. İki matrisi çarpmanın en düz yolu şudur: sonuçtaki her hücre için birinci matrisin bir satırı ile ikinci matrisin bir sütunundaki karşılıklı öğeleri çarpıp toplarsınız. Anlatıcı bunu küçük bir örnekle gösteriyor ve ardından ölçeği büyütüyor: n boyutlu kare matrislerde n kare hücre vardır, her biri yaklaşık n işlem ister, toplam satır sütun çarpımı yükü n küp mertebesine ulaşır. Buradaki 2000 boyutlu örnekte yaklaşık 1 milyar işlem, 10 bin boyutunda ise 1 trilyon işlem çıkar. Soru şudur: bu kübik faturayı ilkesel olarak aşağı çekmek mümkün müdür, yoksa doğanın bir duvarı mıdır?

Kübik duvar ilk kez nasıl delindi

Cevabın ilk kırılması 1969'da Volker Strassen'dan geldi. İkiye ikilik blokları saf yöntemdeki sekiz çarpım yerine yedi çarpım ile birleştiren bir formül kurdu ve bu tek eksik çarpımı özyinelemeli uygulayarak üssü 2'nin 7 tabanındaki logaritmasına, yaklaşık 2,807'ye indirdi. Kübik barajın kader olmadığını gösteren ilk kanıt buydu ve elli yılı aşkın bir yarışı başlattı. Bu erken kırılmanın sayısal iskeletini ve sonraki basamakların sırasını Wikipedia kaydıyla karşılaştırarak doğruladım.

Ardından herkesin kovaladığı niceliği netleştirelim. Omega, n boyutlu kare matris çarpımının her epsilon artığı için n üzeri tau artı epsilon mertebesinde işlemle yapılabildiği tau değerlerinin en büyük alt sınırı olarak tanımlanır. Epsilon payı, sınıra keyfi yakınlaşmaya izin verir ama sınıra tam erişmeyi şart koşmaz. Kritik nokta şudur: omega asimptotik ve idealleştirilmiş bir büyüklüktür; sabit çarpanları, bellek düzenini, sayısal kararlılığı ve gerçek boyutlardaki davranışı anlatmaz. Bu ayrımı baştan koymak gerekir, yoksa 2,25 sayısı yanlış okunur. Üs tanımının bu çerçevesini MIT araştırmacılarının derleme yazısıyla sabitledim.

Sonra üslü merdiven iniyor. Pan ve Bini'nin tensör mertebesi işleri 1970 ve 80'lerde basamakları aşağı çekti, 1987'de Coppersmith ve Winograd lazer yöntemiyle yaklaşık 2,376'ya indi ve bu sayı bir kuşağın hafızasına kazındı. Sonra yirmi yılı aşkın durgunluk geldi. Stothers, Vassilevska Williams, Le Gall, Alman ve Duan Wu Zhou çizgisi 2024 başına kadar sınırı 2,371339'a kadar tırtıkladı. Ağustos 2026'da AlphaEvolve destekli bir iyileştirme 2,371177'yi gördü. Bu optimizasyon öyküsünün teknik detayını arXiv üzerindeki AlphaEvolve notundan aldım. Boru hattının üç adımını, yani yeniden formüle etme, öğrenilmiş iyileştirici ve AlphaEvolve arıtmasını, AIWeekly özetindeki akışla eşleştirdim.

2,25'e giden farklı patika

Ekim 2026'da OpenAI cephesinden gelen iddia ise merdivenin dilini değiştiriyor: karmaşık sayılar üzerinde omega en fazla 9 bölü 4 iken, her pozitif epsilon için iki n boyutlu karmaşık matris epsilon'a bağlı sabitlerle n üzeri 2,25 artı epsilon işlemle çarpılabilir. Metin 2 Ekim tarihli bir el yazması olarak göründü, 6 Ekim'de yayımlanan geniş matematik sürümünün parçası oldu ve depoda Lean doğrulaması taşıyan bir teoremle birlikte geldi. Sürüm notu, sonuçların büyük bölümünün ChatGPT Pro düşünme eşdeğeriyle yaklaşık üç saatlik hesapla üretildiğini söylüyor. Sürümün kapsamını ve GitHub ile Lean notlarını OpenAI duyurusundaki açıklamalarla sabitledim.

Beni asıl ikna eden taraf sayının kendisi değil, ona giden mimaridir. Anlatıcı rotayı tensör karakterleri , polinom çarpımı bağlantısı, Fourier tarzı ayrışma ve ayrık büyüme eşitsizlikleri üzerinden kuruyor; eski rekorun parametre ayarını biraz daha sıkıştırmak yerine farklı bir inşa kuruluyor. Yoldaş makaleler tabloyu genişletiyor: karakteristik sıfır olan her alanda ikili üs için 0,465 üstü değer, dikdörtgen çarpımda 2,092 altı sınır ve hesaplanmamış sonlu bir küme dışındaki tüm alanlarda 2,258 altı sınır. Kapsam tablosundaki bu sınırları BinaryVerseAI incelemesindeki ölçü tablosuyla eşleştirdim. Yoldaş makalelerin dökümünü ve alan bazındaki ayrımları VibeMathed kaydındaki teorem listesiyle doğruladım.

Burada yaygın bir yanlışı düzeltelim: bu sonuç, yarın sabah eğitimlerin hızlanacağı anlamına gelmez. Üst sınır bir varoluş teoremidir; hangi matris boyutunda rekabetçi hale geleceğini söylemez, sabitleri vermez, bellek ve paralellik maliyetini hesaba katmaz. Anlatıcı da bunu açıkça işaret ediyor: üs, işlem sayısı sonsuza giderken ölçeklenmenin tavanını anlatır. Grafik işlemcilerdeki paralellik ise ayrı bir eksendir; aynı anda yapılabilen işler ile toplam aritmetik iş birbirinden farklıdır. O yüzden 2,25'i bir çekirdek yaması gibi değil, tavanın yeniden çizilmesi gibi okumak gerekir.

Doğrulama sürüyor, göz ikide

Yankı ise matematiğin son yıllardaki en kalabalık haftalarından birine işaret ediyor. Şirket yüzlerce makaleyi aynı anda yayımladı; Wall'un D(2) problemi üzerinde 25 yıl çalışmış bir araştırmacının şaşkınlığı manşetlere taşındı, sayı teorisindeki otuz makaleden yalnızca bir avuçunun çarpıcı bulunduğu ve yalnız birinin Lean ile resmen doğrulandığı uyarısı da aynı pakette geldi. 722 makalelik dalganın yankısını ve matematikçi demeçlerini NewScientist haberindeki aktarımlarla verdim. Tek istemli ajan iddiasına düşülen çekinceyi ve bağımsız tekrar üretme talebini ScientificAmerican söyleşisindeki itirazlarla aktardım.

Son soru en derindeki sorudur: omega acaba 2'ye eşit midir? İki, doğal bir ikili sınır olarak durur, çünkü n boyutlu matrisin kendisi zaten n kare girdi taşır ve çıktısı da n karedir; olağan modelde ikinin altı, okunacak bilgiden az iş demektir. Eşitlik sağlansa bile bu doğrusal zaman demek olmaz, girdi büyüklüğüne göre doğrusala yakın karesel iş demektir. 2,25 ile 2 arasındaki 0,25'lik fark hâlâ koca bir bilinmezdir ve kimse kapanıp kapanmayacağını bilmiyor. İkiye inme sorusunun açık statüsünü ve tarihsel arka planını EmergentMind problem kaydındaki çerçeveyle özetledim.